Wie löst der Backslash-Operator (\\) von MATLAB lineare Gleichungen?

Wie der mldivide-Operator von MATLAB lineare Gleichungen löst

Der mldivide-Operator von MATLAB, auch bekannt als Backslash-Operator „“, ist ein vielseitiges Werkzeug für die Berechnung Lösungen für lineare Systeme, ausgedrückt in Matrixform. Es umfasst verschiedene Algorithmen zur Verarbeitung verschiedener Arten von Eingabematrizen, um Effizienz und numerische Stabilität sicherzustellen.

Algorithmusauswahl für nichtquadratische Matrizen:

Für nichtquadratische Matrizen Der Backslash-Operator verwendet die QR-Zerlegung, um die Lösung zu ermitteln. Die QR-Zerlegung faktorisiert die Matrix A in orthogonale Vektoren Q und eine obere Dreiecksmatrix R. Die Lösung x wird dann durch Lösen des oberen Dreieckssystems R (Q' * b) erhalten.

Algorithmusauswahl für Quadrat Matrizen:

Bei quadratischen Matrizen diagnostiziert mldivide die Matrix und wählt auf deren Grundlage den geeigneten Algorithmus aus Eigenschaften:

• Dreiecksmatrizen (untere oder obere): Vorwärts- oder Rückwärtssubstitution wird direkt durchgeführt.
• Symmetrische positive definite Matrizen: Für eine schnellere und stabilere Lösung wird die Cholesky-Zersetzung verwendet.
• Allgemeiner Platz Matrizen: LU-Zerlegung wird für eine Kombination aus Vorwärts- und Rückwärtssubstitution verwendet.

Sonderfälle:

• Wenn A singulär ist oder rechteckig kann die Pseudoinverse (pinv)-Methode für eine Minimalnorm-Kleinste-Quadrate-Lösung verwendet werden.
• Für Für spärliche Matrizen verwendet MATLAB iterative Löser und externe Bibliotheken wie UMFPACK.
• Für Berechnungen auf GPUs nutzt mldivide cuBLAS und MAGMA.
• Für verteilte Arrays wird ScaLAPACK zum Lösen linearer Systeme in einem verteilten System verwendet Computerumgebung.

Implementierung mldivide:

Die Implementierung der gesamten Funktionalität von mldivide in einer benutzerdefinierten Matrixbibliothek wäre ein erheblicher Aufwand. Durch das Verständnis der zugrunde liegenden Algorithmen und die Verwendung vorhandener Bibliotheken für bestimmte Matrixtypen (z. B. LAPACK für dichte Matrizen, iterative Löser für dünn besetzte Matrizen) ist es jedoch möglich, einen einigermaßen effizienten und vielseitigen Löser für lineare Systeme zu erstellen.

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