Warum bietet die Gleitkomma-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit manchmal eine Genauigkeit von 16 statt 15 Dezimalstellen?

Doppelte Präzision: Geheimnis der Präzision enthüllt

Trotz der Annahme, dass Daten mit doppelter Genauigkeit eine Genauigkeit von etwa 15 Dezimalstellen aufweisen, kommt es beim Handel zu Anomalien mit sich wiederholenden Dezimalstellen wie 1,0/7,0. Überraschenderweise speichert die Variable, der ein solcher Wert zugewiesen wurde, intern eine 17-stellige Darstellung. Dieser Unterschied erfordert eine Untersuchung des zugrunde liegenden Mechanismus.

Ein IEEE-Wert mit doppelter Genauigkeit besteht aus 53 signifikanten Bits (DBL_MANT_DIG). Dies entspricht fast 15,95 Dezimalstellen. Die Implementierung rundet dies jedoch auf 15 (DBL_DIG) ab. Dies gewährt effektiv eine zusätzliche Dezimalstelle an Präzision.

Mithilfe der Funktion nextafter(), die die einem gegebenen Wert am nächsten liegende darstellbare Zahl zurückgibt, können wir die Nuancen der Präzision demonstrieren. Für 1.0/7.0 gibt nextafter() nach und nach die beiden benachbarten darstellbaren Werte aus, was eine Genauigkeit von etwa 16 Dezimalstellen angibt, obwohl DBL_DIG 15 vorschlägt.

Schlussfolgerung:

Die Genauigkeit von Werten mit doppelter Genauigkeit hängt vom Kompromiss zwischen signifikanten Bits und darstellbaren Ziffern ab. Während die theoretische Genauigkeit 15 Dezimalstellen nahelegt, kann sie aufgrund von Rundungen und der inhärenten Natur der IEEE-Darstellung gelegentlich bis zu 16 betragen. Das Verständnis dieser Faktoren ist für den Umgang mit Dezimaldarstellungen in numerischen Berechnungen von entscheidender Bedeutung.

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