Wie können wir große Zahlen schnell und genau ohne Präzisionsverlust quadrieren?

Schnelle Berechnung von y = x^2 ohne Präzisionsverlust

Problem:
Gegeben eine Eingabegröße x Dargestellt als Array vorzeichenloser 32-Bit-Ganzzahlen, berechnen Sie y = x^2 so schnell wie möglich, ohne an Präzision zu verlieren Multiplikation.

Anfänglicher Ansatz:
Der vom Autor der Frage vorgeschlagene anfängliche Ansatz umfasst die Berechnung von y = x*x, um mehrfache Multiplikationen zu eliminieren. Dies hat jedoch mehrere Nachteile, darunter:

Karatsuba-Multiplikation:
Karatsuba-Multiplikation ist ein Divide-and-Conquer-Algorithmus, der Multiplikationsoperationen beschleunigt. Es besteht aus drei rekursiven Schritten:

• Teilen Sie die Eingaben in kleinere Teile auf
• Wenden Sie den rekursiven Schritt auf jeden Teil an
• Kombinieren Sie die Ergebnisse

Dieser Ansatz kann die Leistung der Multiplikation erheblich verbessern, da er die Zeitkomplexität von O(n^2) auf reduziert O(n^log2(3)).

Modifizierte Schönhage-Strassen-Multiplikation (NTT):
Der Schönhage-Strassen-Algorithmus, wenn er mit der NTT (Zahlentheoretische Transformation) modifiziert wurde. , kann Multiplikationsoperationen weiter beschleunigen. Es beruht auf der Durchführung der Multiplikation im Frequenzbereich.

Es gibt jedoch Einschränkungen bei der Verwendung von NTT aufgrund von Überlaufproblemen. Die Größe des NTT-Eingabe-/Ausgabevektors wird durch die maximal zulässige Größe des Eingabe-Bignums eingeschränkt. In der vom Autor der Frage bereitgestellten Implementierung wird NTT sowohl für die Multiplikation als auch für die Quadrierung verwendet, wobei die Schwellenwerte je nach Größe der Operanden variieren.

Schlussfolgerung:

Für Bei kleinen Zahlen ist der schnelle Quadrierungsansatz des Autors die beste Option. Bei größeren Zahlen wird die Karatsuba- oder NTT-Multiplikation effizienter. Durch verschiedene Optimierungen ist die NTT-Multiplikation ab einem bestimmten Schwellenwert schneller als Karatsuba geworden.

Offene Fragen:

Der Autor erkennt an, dass es möglicherweise einen effizienteren Algorithmus gibt, der dies getan hat übersehen worden. Weitere Forschung und Experimente sind erforderlich, um den besten Ansatz für jeden spezifischen Anwendungsfall und Datengrößenbereich zu ermitteln.

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