Wie genau ist die Float-Präzision in Dezimalstellen?

Gleitkomma-Präzision: Ein missverstandenes Konzept

Die Vorstellung der Gleitkomma-Genauigkeit in Bezug auf Dezimalstellen ist irreführend, wenn sie auf binäre Gleitkommaformate wie den IEEE-754-Standard angewendet wird. Behauptungen über eine 6- bis 9-stellige Genauigkeit, wie sie manchmal behauptet werden, sind ungenau und bedürfen einer Klärung.

Binär, nicht dezimal

Gleitkommazahlen sind von Natur aus binär; Sie verwenden Bits, keine Dezimalziffern. Ein Float besteht aus einem Vorzeichen, einem Signifikanten (Mantisse) mit einer festen Anzahl von Bits und einem Exponenten. Diese Struktur ermöglicht eine effiziente Darstellung einer Vielzahl großer und kleiner Werte.

Anschauliche Beispiele

Die folgenden Beispiele verdeutlichen die Einschränkungen der Gleichsetzung der Gleitkomma-Genauigkeit mit Dezimalstellen:

• 1.0000001f ist exakt darstellbar, was zeigt, dass die Genauigkeit nicht streng auf sechs Ziffern beschränkt ist.
• 100000000f verliert über die führende Ziffer hinaus an Präzision, was die Einschränkungen des Formats für große Zahlen zeigt.

Auflösung vs. Genauigkeit

Ein Float mit einfacher Genauigkeit hat eine Auflösung von 2²³. Dies bedeutet, dass die kleinste erkennbare Wertänderung ungefähr 10^-6,9 beträgt (da log₁₀2²³ ≈ 6,9). Auflösung ist jedoch nicht gleichbedeutend mit Genauigkeit. Die Konvertierung einer Dezimalzahl in eine Gleitkommazahl kann zu einem Fehler von bis zu etwa 10^-7,2 führen.

Ursprung des 6-9-stelligen Anspruchs

Die 6- und 9-stelligen Zahlen sind wahrscheinlich auf die inhärenten Einschränkungen bei der Konvertierung zwischen dezimalen und binären Darstellungen zurückzuführen:

• Dezimalzahlen mit bis zu 6 signifikanten Stellen werden garantiert verlustfrei in eine Gleitkommazahl und zurück in die ursprüngliche Dezimalzahl umgewandelt.
• Jede Gleitkommazahl kann in eine 9-stellige Dezimalzahl und dann zurück in den ursprünglichen Gleitkommawert umgewandelt werden.

Diese Garantien bedeuten jedoch nicht, dass Gleitkommazahlen eine 6-9-stellige dezimale Genauigkeit besitzen.

Fazit: Die Einschränkungen verstehen

Das Konzept der Float-Genauigkeit in Dezimalstellen ist grundsätzlich fehlerhaft. Ein genaues Verständnis der Gleitkomma-Arithmetik erfordert das Erkennen ihrer binären Natur, ihrer Stärken bei der Darstellung eines breiten Wertebereichs und ihrer inhärenten Einschränkungen bei der präzisen Darstellung von Dezimalzahlen. Bei numerischen Berechnungen müssen die Auswirkungen dieser Einschränkungen sorgfältig abgewogen werden.

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