Warum sollten Daten beim maschinellen Lernen durch Vektoren/Matrizen dargestellt werden?

In der Datenwissenschaft und beim maschinellen Lernen stellen wir Daten häufig als Vektoren und Matrizen dar. In der Mathematik und Physik ist ein Vektor eine Größe, die Größe und Richtung definiert (z. B. ein Distanzvektor). Normalerweise folgen die Daten, mit denen wir arbeiten, jedoch nicht unbedingt der Definition von Vektoren, wir verwenden jedoch weiterhin Vektoren zur Darstellung von Daten. Beispielsweise können wir Daten zu demografischen Informationen (z. B. Rasse, Alter, Geschlecht usw.) als Vektor darstellen, dies hat jedoch keine rein geometrische Interpretation von Größe oder Richtung.

In ähnlicher Weise wird in der Mathematik eine Matrix verwendet, um eine lineare Abbildung darzustellen, die als Abbildung zwischen zwei Vektorräumen definiert ist, die Vektoraddition und Skalarmultiplikation beibehalten. Der Kontext, in dem Matrizen in der Datenwissenschaft/im maschinellen Lernen verwendet werden, unterscheidet sich jedoch von dieser mathematischen Definition.

Warum werden Vektoren und Matrizen angesichts dieses Unterschieds so häufig bei der Darstellung von Daten verwendet? In diesem Artikel werden wir mehrere Gründe untersuchen, die dieses Phänomen erklären.

Recheneffizienz

Bei der Verarbeitung von Daten möchten wir sie normalerweise in ein maschinelles Lernmodell einspeisen, ein Prozess, der viele Berechnungen erfordert und oft die Addition und Multiplikation vieler Zahlen erfordert. Wenn Sie beispielsweise ein Filmempfehlungssystem erstellen, können Sie Daten darüber sammeln, wie lange Benutzer jeden Film in Ihrer Bibliothek angesehen haben. Anschließend können Sie Filme empfehlen, die eine höhere durchschnittliche Sehdauer haben. Dieser Durchschnitt wird berechnet, indem die Zeit, die alle Benutzer mit dem Ansehen eines Films verbracht haben, durch die Anzahl der Filme summiert wird. Die Ausführung dieses Prozesses kann langsam sein, insbesondere wenn die Anzahl der Benutzer und Filme wächst (wie Youku, das mehr als 267 Millionen Benutzer und fast 20.000 Filme hat).

Informatiker haben jedoch sehr effiziente lineare Algebra-Algorithmen entwickelt, und die Addition und Multiplikation von Vektoren und Matrizen ist viel schneller als die herkömmliche elementbasierte Addition/Multiplikation. Für Python sorgt die NumPy-Bibliothek für wissenschaftliches Rechnen und lineare Algebra für mehr Geschwindigkeit und Effizienz. Wenn wir unser Empfehlungssystemproblem noch einmal betrachten, können wir jedem Benutzer einen Betrachtungszeitvektor der Dimension n zuordnen, wobei n die Anzahl der Filme ist. Unsere Daten sind dann eine Matrixsammlung dieser Vektoren mit n Zeilen und m Spalten, wobei n die Anzahl der Filme und m die Anzahl der Benutzer ist. Um empfehlenswerte Filme zu finden, können wir den Durchschnitt der Zeilen ermitteln, die durchschnittliche Zeit ermitteln, die alle Benutzer jeden Film angesehen haben, und dann nach den Filmen mit der höchsten durchschnittlichen Wiedergabezeit sortieren. Die Implementierung dieses Problems mit Vektoren und Matrizen führt aufgrund hochoptimierter Algorithmen zu schnelleren Berechnungen.

Zur Veranschaulichung finden Sie hier ein Python-Skript, das die Zeit vergleicht, die zum Berechnen von Zeilendurchschnitten mit regulärem Python und der NumPy-Bibliothek (optimiert für Matrizen und Vektoren) erforderlich ist. Um die Recheneffizienz zu bewerten, messen wir die Zeit, die das Programm benötigt, um auf einem Datensatz von 500 Filmen und 200 Benutzern auszuführen.

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margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">data</span>[<span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">i</span>][<span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">j</span>] <br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">row_average</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">row_average</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">/</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">m</span><br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">averages</span>.<span style="color: rgb(0, 92, 197); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">append</span>(<span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">row_average</span>)<br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">end_time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">time</span>.<span style="color: rgb(0, 92, 197); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">time</span>()<br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">total_time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">end_time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">-</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">start_time</span> # <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">for</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">normal</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">array</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">implementation</span><br><br><br># <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">using</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">NumPy</span><br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np_data</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np</span>.<span style="color: rgb(0, 92, 197); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">array</span>(<span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">data</span>) # <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">convert</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">data</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">into</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">numpy</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">array</span><br><br><br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np_start_time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">time</span>.<span style="color: rgb(0, 92, 197); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">time</span>()<br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np_average</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np</span>.<span style="color: rgb(0, 92, 197); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">mean</span>(<span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np_data</span>, <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">axis</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(0, 92, 197); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">1</span>) # <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">using</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">numpy</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">mean</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">function</span><br><span style="color: rgb(0, 92, 197); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np_end_time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">time</span>.<span style="color: rgb(0, 92, 197); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">time</span>()<br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np_total_time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">=</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np_end_time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">-</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">np_start_time</span> # <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">time</span> <span style="color: rgb(215, 58, 73); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">for</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">numpy</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">array</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">implementation</span><br><br><br><span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">print</span>(<span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">f</span><span style="color: rgb(102, 153, 0); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">"Regular Python: {total_time:4f}; NumPy: {np_total_time:4f}"</span>) # <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">print</span> <span style="color: rgb(89, 89, 89); margin: 0px; padding: 0px; background: none 0% 0% / auto repeat scroll padding-box border-box rgba(0, 0, 0, 0);">results</span>

Sie können den Python-Code zehnmal ausführen und die Ergebnisse betragen im Durchschnitt 9,088 Millisekunden, während NumPy 0,427 Millisekunden benötigt. Die NumPy-Implementierung ist etwa 20-mal schneller als normales Python.

Um noch einen Schritt weiter zu gehen, zeichnen wir unten die Zeit auf, die die Python- und NumPy-Implementierungen benötigen, um den Durchschnitt zu berechnen, während wir die Anzahl der Benutzer von 1 auf 1000 variieren und gleichzeitig die Anzahl der Filme bei 500 halten.

Mit zunehmender Datenmenge wird der Unterschied zwischen regulärem Python und NumPy immer größer. Wir können dies auch visualisieren, indem wir das Verhältnis zwischen den beiden Implementierungen grafisch darstellen.

Mit zunehmender Datenmenge steigt auch dieses Verhältnis, was ebenfalls beweist, dass der Einsatz von NumPy die Effizienz verbessern kann. Bei sehr großen Datenquellen oder komplexen Modellen ist diese Effizienz noch wertvoller. Betrachten Sie den immer häufiger auftretenden Bereich Big Data, der oft Milliarden bis Billionen Datenpunkte umfasst. Für ein tiefes neuronales Netzwerkmodell kann es aus Millionen von Knoten/Parametern bestehen, und die Gewichte und Verzerrungen jedes Knotens/Parameters werden multipliziert oder addiert (zum Beispiel hat das GPT-3-Sprachmodell mehr als 175 Milliarden Parameter).

Lineare Algebra-Tools

Ein weiterer Vorteil der Verwendung von Vektoren/Matrizen zur Darstellung von Daten besteht darin, dass wir lineare Algebra und mathematische Tools nutzen können. Ein gutes Beispiel ist die Computer Vision, wo Matrizen zur Beschreibung von Bildtransformationen (z. B. Translation, Rotation, Reflexion, Affinität, Projektion usw.) verwendet werden.

Bei der Bilddrehung besteht das Ziel darin, eine Funktion zum Drehen um einen bestimmten Winkel von jedem Pixel des Bildes zu bestimmen. In der linearen Algebra wird eine Rotationsmatrix verwendet, um einen Vektor/eine Matrix zu drehen. Indem wir das Bild als Matrix darstellen, können wir die Rotationsmatrix nutzen. Ebenso gibt es Matrizen für Übersetzung, Reflexion und affine Transformationen.

Darüber hinaus hilft die Darstellung eines Bildes als Matrix auch bei projektiven Transformationen, also der Abbildung von Linien von einer Ebene auf eine andere. Dies ist nützlich zum Zusammenfügen von Bildern und zum Erstellen von Panoramafotos. Darüber hinaus ergeben sich weitere Anwendungen bei der Verarbeitung von 3D-Grafikbildern.

Prägnanter

Beim Umgang mit komplexen Datensituationen kann die Verwendung von Vektoren und Matrizen zur Darstellung von Konzepten bequemer, klarer und prägnanter sein. Anstatt jedem Datenpunkt einen Namen zu geben, können wir die Daten in einem bestimmten Vektor oder einer bestimmten Matrix gruppieren. Darüber hinaus können wir Vektor-/Matrixkonventionen verwenden, um Operationen an Daten darzustellen.

Betrachten Sie beispielsweise das Beispiel einer multiplen linearen Regression mit 5 Merkmalsvariablen. Dies kann wie folgt dargestellt werden:

Mithilfe von Vektoren/Matrizen können wir dieselbe Idee (Merkmale und Merkmale) vermitteln Koeffizienten sind jetzt Vektoren): Diese Darstellung funktioniert immer noch, wenn wir mehr Variablen haben (es ist der gleiche Ausdruck für 10 oder 1000 Feature-Variablen). Darüber hinaus können Vektoren und Matrizen zur Darstellung vieler Datenoperationen und -modelle verwendet werden (z. B. logistische Regression, Zufallswälder, neuronale Netze usw.).

Darüber hinaus ist die Vektor/Matrix-Konvention in vielen Bereichen (z. B. Physik, Ingenieurwesen, Informatik usw.) sehr verbreitet. Dies bedeutet, dass Praktiker im Allgemeinen damit vertraut sind, was die kognitive Belastung verringert (da sie keine neuen Daten-/Modellkonventionen erlernen müssen).

Fazit

Der Grund, warum viele Daten- und Modelloperationen durch Vektoren/Matrizen dargestellt werden, liegt darin, dass durch Vektoren und Matrizen dargestellte Daten effiziente und schnellere Berechnungen ermöglichen und auch verwendet werden können Techniken der linearen Algebra.

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonWarum sollten Daten beim maschinellen Lernen durch Vektoren/Matrizen dargestellt werden?. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!