Was ist der EM-Algorithmus in Python?

Der EM-Algorithmus in Python ist eine iterative Methode, die auf der Maximum-Likelihood-Schätzung basiert und häufig für Parameterschätzprobleme beim unbeaufsichtigten Lernen verwendet wird. In diesem Artikel werden die Definition, die Grundprinzipien, Anwendungsszenarien und die Python-Implementierung des EM-Algorithmus vorgestellt.

1. Definition des EM-Algorithmus

EM-Algorithmus ist die Abkürzung für Expectation-Maximization Algorithm. Es handelt sich um einen iterativen Algorithmus, der die Maximum-Likelihood-Schätzung anhand der beobachteten Daten ermitteln soll.

Im EM-Algorithmus wird davon ausgegangen, dass die Stichprobendaten aus einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung stammen und die Parameter der Verteilung unbekannt sind und vom EM-Algorithmus geschätzt werden müssen. Der EM-Algorithmus geht davon aus, dass die unbekannten Parameter in zwei Kategorien unterteilt werden können, eine aus beobachtbaren Variablen und eine aus nicht beobachtbaren Variablen. Durch Iteration wird der erwartete Wert der nicht beobachtbaren Variablen als geschätzter Wert des Parameters verwendet und dann wird die Lösung erneut bis zur Konvergenz gelöst.

2. Grundprinzipien des EM-Algorithmus

1. E-Schritt (Erwartung)

Im E-Schritt ist es ist erforderlich Gemäß den aktuellen Parameterschätzungen wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der verborgenen Variablen berechnet, dh die bedingte Verteilung jeder verborgenen Variablen wird gelöst, was dem erwarteten Wert der verborgenen Variablen entspricht. Dieser Erwartungswert wird auf Basis der aktuellen Parameterschätzungen berechnet.

2. M-Schritt (Maximierung)

Im M-Schritt ist es notwendig, den aktuellen Wert basierend auf dem erwarteten Wert von neu zu schätzen Die im E-Schritt-Parameter berechnete verborgene Variable. Diese Schätzung wird basierend auf dem erwarteten Wert der in Schritt E berechneten latenten Variablen berechnet.

3. Parameterwerte aktualisieren

Durch die Iteration des E-Schritts und des M-Schritts wird schließlich eine Reihe von Parameterschätzungen erhalten. Wenn die Schätzung konvergiert, endet der Algorithmus, andernfalls wird die Iteration fortgesetzt. Jede Iteration optimiert die Parameterwerte, bis die optimale Parameterschätzung gefunden wird.

3. Anwendungsszenarien des EM-Algorithmus

Der EM-Algorithmus wird häufig im Bereich des unbeaufsichtigten Lernens wie Clusteranalyse, Modellauswahl und versteckten Markov-Modellen usw. verwendet hat die Vorteile einer starken Robustheit und einer hohen Iterationseffizienz.

Bei Clustering-Problemen kann der EM-Algorithmus beispielsweise zur Parameterschätzung von Gaußschen Mischungsmodellen verwendet werden, d. h. die beobachtete Datenverteilung wird als Mischungsmodell aus mehreren Gaußschen Verteilungen und den Stichproben modelliert werden so gruppiert, dass alle Daten innerhalb einer Gruppe derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegen. Im EM-Algorithmus wird das Problem gelöst, indem die Daten im E-Schritt gruppiert und die Parameter der Gaußschen Verteilung im M-Schritt aktualisiert werden.

Darüber hinaus wird der EM-Algorithmus in der Bildverarbeitung häufig für Aufgaben wie Bildsegmentierung und Bildrauschen verwendet.

4. Python-Implementierung des EM-Algorithmus

In Python gibt es viele Funktionen, die den EM-Algorithmus zur Parameterschätzung verwenden können, wie beispielsweise die EM-Algorithmus-Implementierung in der SciPy-Bibliothek und Scikit-Learn-Gaußsches Mischungsmodell GMM in der Bibliothek, Variations-Autoencoder VAE in der TensorFlow-Bibliothek usw.

Das Folgende ist eine Einführung am Beispiel der EM-Algorithmus-Implementierung der SciPy-Bibliothek. Zuerst müssen Sie es wie folgt in Pyhton importieren:

import scipy.stats as st
import numpy as np

Dann definieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eines Gaußschen Mischungsmodells als Optimierungszielfunktion des EM-Algorithmus:

def gmm_pdf(data, weights, means, covs):
    n_samples, n_features = data.shape
    pdf = np.zeros((n_samples,))
    for i in range(len(weights)):
        pdf += weights[i]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[i], cov=covs[i])
    return pdf

#🎜 🎜#Als nächstes definieren Sie die Funktion des EM-Algorithmus:

def EM(data, n_components, max_iter):
    n_samples, n_features = data.shape
    weights = np.ones((n_components,))/n_components
    means = data[np.random.choice(n_samples, n_components, replace=False)]
    covs = [np.eye(n_features) for _ in range(n_components)]

    for i in range(max_iter):
        # E步骤
        probabilities = np.zeros((n_samples, n_components))
        for j in range(n_components):
            probabilities[:,j] = weights[j]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[j], cov=covs[j])
        probabilities = (probabilities.T/probabilities.sum(axis=1)).T

        # M步骤
        weights = probabilities.mean(axis=0)
        means = np.dot(probabilities.T, data)/probabilities.sum(axis=0)[:,np.newaxis]
        for j in range(n_components):
            diff = data - means[j]
            covs[j] = np.dot(probabilities[:,j]*diff.T, diff)/probabilities[:,j].sum()

    return weights, means, covs

Schließlich können Sie den folgenden Code verwenden, um den EM-Algorithmus zu testen:

# 生成数据
np.random.seed(1234)
n_samples = 100
x1 = np.random.multivariate_normal([0,0], [[1,0],[0,1]], int(n_samples/2))
x2 = np.random.multivariate_normal([3,5], [[1,0],[0,2]], int(n_samples/2))
data = np.vstack((x1,x2))

# 运行EM算法
weights, means, covs = EM(data, 2, 100)

# 输出结果
print('weights:', weights)
print('means:', means)
print('covs:', covs)

Referenzen:

#🎜 🎜#[1] Xu, R. & Wunsch, D. C. (2005). Übersicht über Clustering-Algorithmen, 16(3), 645-678.

[2] Blei, D. M., Ng, A. Y. & Jordan, M. I. (2003). Latent Dirichlet Research, 3(4-5), 993-1022.

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