Detaillierte Erklärung des Minimum Spanning Tree-Algorithmus in PHP

PHP中的最小生成树算法详解

最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一种重要概念，用来解决连通图最小权重边的选择问题。在PHP语言中，我们可以通过一些经典的最小生成树算法来实现这个功能。本文将详细介绍两种常用的最小生成树算法：Prim算法和Kruskal算法，并给出相应的PHP代码示例。

一、Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，它从一个顶点开始，逐步扩展生成最小生成树。具体过程如下：

1. 选择一个起始顶点，将其加入已选择的集合。
2. 从与当前已选择的顶点集合相邻的顶点中，选择权重最小的边，并加入已选择的边集合。
3. 将该边所连接的顶点也加入已选择的顶点集合。
4. 重复步骤2和3，直到所有的顶点都被加入已选择的集合。
5. 最终得到的边集合就是最小生成树。

下面是用PHP实现Prim算法的代码示例：

function prim($graph) {
    $numVertices = count($graph);
    $selected = array_fill(0, $numVertices, false); // 记录已选择的顶点
    $parent = array_fill(0, $numVertices, -1); // 记录最小生成树的父节点

    $selected[0] = true; // 从第一个顶点开始
    $minWeight = 0;

    for ($i = 0; $i < $numVertices - 1; $i++) {
        $minKey = -1;
        $minVal = PHP_INT_MAX;
        
        for ($j = 0; $j < $numVertices; $j++) {
            if ($selected[$j] == false && $graph[$i][$j] < $minVal) {
                $minKey = $j;
                $minVal = $graph[$i][$j];
            }
        }

        $selected[$minKey] = true;
        $parent[$minKey] = $i;
        $minWeight += $minVal;
    }

    return $minWeight;
}

二、Kruskal算法

Kruskal算法是一种基于边的贪心算法，它首先对所有边按权重从小到大进行排序，然后逐个加入生成树中，如果加入的边不形成环路，则加入最小生成树的边集合中。具体步骤如下：

1. 对所有边按权重从小到大进行排序。
2. 从权重最小的边开始，逐个加入生成树的边集合中。
3. 如果加入的边不形成环路，则将该边加入最小生成树。
4. 重复步骤2和3，直到生成树的边数等于顶点数减一。
5. 最终得到的边集合就是最小生成树。

下面是用PHP实现Kruskal算法的代码示例：

function find($parent, $i) {
    if ($parent[$i] == -1) {
        return $i;
    }

    return find($parent, $parent[$i]);
}

function union($parent, $x, $y) {
    $xSet = find($parent, $x);
    $ySet = find($parent, $y);

    $parent[$xSet] = $ySet;
}

function kruskal($edges, $numVertices) {
    $parent = array_fill(0, $numVertices, -1);
    $minWeight = 0;

    usort($edges, function ($a, $b) {
        return $a['weight'] - $b['weight'];
    });

    $e = 0; // 记录生成树的边数
    $i = 0;

    while ($e < $numVertices - 1) {
        $nextEdge = $edges[$i++];

        $x = find($parent, $nextEdge['src']);
        $y = find($parent, $nextEdge['dest']);

        if ($x != $y) {
            $minWeight += $nextEdge['weight'];
            union($parent, $x, $y);
            $e++;
        }
    }

    return $minWeight;
}

总结：

本文详细介绍了PHP中两种最小生成树算法的原理和实现代码。Prim算法和Kruskal算法分别采用不同的贪心策略，能够高效地求解连通图的最小生成树。希望本文对读者理解最小生成树算法在PHP中的应用有所帮助。

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