Die Summe der fünften Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen

Natürliche Zahlen sind Zahlen, die bei 1 beginnen und alle positiven ganzen Zahlen umfassen. Im folgenden Artikel werden zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Summe der fünften Potenz der ersten n natürlichen Zahlen besprochen. In diesem Artikel werden beide Ansätze ausführlich besprochen und hinsichtlich Effizienz und Intuitivität verglichen.

Problemstellung

Der Zweck dieser Aufgabe besteht darin, die arithmetische Summe der ersten n natürlichen Zahlen zu berechnen, die alle auf die fünfte Potenz erhöht werden, also

$mathrm{1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + … + n^5}$ bis zum n-ten Element.

Beispiel

Da n eine natürliche Zahl ist, kann ihr Wert nicht kleiner als 1 sein.

Input: n = 3

Output: 276

Erklärung

$mathrm{1^5 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1}$

$mathrm{2^5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32}$

$mathrm {3^5 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243}$

Wenn wir diese Terme addieren, erhalten wir $mathrm{1^5 + 2^5 + 3^5 = 276}$

Daher beträgt die Summe der ersten 3 natürlichen Zahlen 276.

Input: n = 1

Output: 1

Erklärung

$mathrm{1^5 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1}$

Die Summe der ersten 1 natürlichen Zahl ist also 1.

Input: n = 11

Output: 381876

Erklärung

$mathrm{1^5 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1}$

$mathrm{2^5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32}$

. ....

$mathrm{11^5 = 11 * 11 * 11 * 11 * 11 = 161051} $

Nachdem wir diese Terme hinzugefügt haben, erhalten wir $mathrm{1^5 + 2^5 + 3^5 + ... + 11^ 5 = 381876}$

Die Summe der ersten 11 natürlichen Zahlen ist also 381876.

Intuitive Methode

• Verwenden Sie eine Iterationsschleife, um die fünfte Potenz jeder Zahl nacheinander zu berechnen.

• Erstellen Sie eine Variable, um die Summe nach jeder Schleifeniteration zu speichern.

• Antworten anzeigen.

Algorithmus

Funktion main()

• N initialisieren.

• Die Funktion ruft sumOfFifthPower() auf.

• Drucken Sie die Summe aus.

Funktion sumOfFifthPower(int n)

• Summe initialisieren = 0

• für (i von 1 bis n)

• Summe = Summe + (pow(i,5)

• Den Betrag zurückgeben

Beispiel

Das Programm berechnet die fünfte Potenz jeder Zahl und addiert sie bei jeder Iteration zur vorhandenen Summe, indem es eine for-Schleife verwendet, die n-mal in der Funktion sumOfFifthPower() implementiert ist.

// A C++ program to find the sum of the first n natural numbers, all raised to their fifth power.
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
// This function calculates the summation of fifth powers of the first // n natural numbers and stores
// it in the variable sum
int sumOfFifthPower(int n){
   int sum = 0;
   for (int i = 1; i <= n; i++)    {
   
      // calculate fifth power of i and add it to sum
      sum = sum + pow(i, 5);
   }
   return sum;
}

// main function
int main(){
   int n = 3;
   int ans; // to store final result
   ans = sumOfFifthPower(n); // function call
   cout << "The sum of the fifth powers of the first " << n << " natural numbers is: ";
   cout << ans; // Display the final result
   return 0;
}

Ausgabe

The sum of the fifth powers of the first 3 natural numbers is: 276

Raum-Zeit-Analyse

Zeitliche Komplexität: O(n), da innerhalb der Funktion sumOfFifthPower() nur eine for-Schleife verwendet wird.

Raumkomplexität: O(1), da kein zusätzlicher Raum verwendet wird.

Alternative Methode

• Verwenden Sie mathematische Formeln, um die Summe der fünften Potenz jeder Zahl zu berechnen.

• Antworten anzeigen.

Formel

$$mathrm{displaystylesumlimits_{k=1}^n :k^5=frac{1}{12}(2n^6+6n^5+5n^4−n^ 2)}$$

Algorithmus

Funktion main()

• N initialisieren.

• Die Funktion ruft sumOfFifthPower() auf.

• Drucken Sie die Summe aus.

Funktion sumOfFifthPower(int n)

• Summe initialisieren = 0

• Summe = ((2 * pow(n,6)) + (6 * pow(n,5) + (5 * pow(n,4) - (pow(n,2)) / 12

• Den Betrag zurückgeben

Beispiel

Dieses Programm berechnet die Summe, indem es den Wert von n in eine mathematische Formel einsetzt, die die Summe der ersten n natürlichen Zahlen hoch zur fünften Potenz in der Funktion sumOfFifithPower() berechnet.

// A C++ program to find the sum of the first n natural numbers, all raised to their fifth power.
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// This function calculates the summation of fifth powers of the first // n natural numbers and stores it in the variable sum
int sumOfFifthPower(int x){
   int sum = 0;
   sum = ((2 * pow(x,6)) + (6 * pow(x,5)) + (5 *pow(x,4)) - (pow(x,2))) / 12; 
   return sum;
}

// main function
int main(){
   int n = 3;
   int ans; // to store final result
   ans = sumOfFifthPower(n); // function call
   cout << "The sum of the fifth powers of the first " << n << " natural numbers is: ";
   cout << ans; // Display the final result
   return 0;
}

Ausgabe

The sum of the fifth powers of the first 3 natural numbers is: 276

Raum-Zeit-Analyse

Zeitliche Komplexität: O(1), da die Antwort in einer einzigen Iteration mithilfe der direkten Formel berechnet wird.

Raumkomplexität: O(1), da kein zusätzlicher Raum erforderlich ist.

Vergleichen Sie die oben genannten Methoden

Die chinesische Übersetzung von ist: Die chinesische Übersetzung von ist:

Standard	Methode 1	Methode 2
Zeitliche Komplexität	O(n)	O(1)
Weltraumkomplexität	O(1)	O(1)
Intuitiv	Mehr	Less	Less
Effizienz	Less	Less	Mehr

Fazit

In diesem Artikel werden zwei Methoden zur Berechnung der Summe der fünften Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen besprochen. Außerdem werden die Konzepte, Algorithmen, C++-Programmlösungen beider Methoden sowie die Komplexitätsanalyse jeder Methode vorgestellt. Es ist zu beobachten, dass die erste Methode eine höhere zeitliche Komplexität aufweist, aber intuitiver ist. Der zweite Ansatz hingegen verwendet einfache mathematische Formeln, um das Problem effizient in O(1) Zeit und Raum zu lösen.

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonDie Summe der fünften Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!