Die Summe der Produkte jedes Paares
Das paarweise Produkt der Menge X = {a, b, c} kann als Summe der Produkte aller möglichen Mengenpaare definiert werden. Die Mengenpaare sind Y = {a * a, a * b, a *c, b * b, b * c, c * c}, wobei die Produkte kommutativ sind. Daher ist das paarweise Produkt einer Menge X die Summe der Elemente der Menge Y, also aa + ab + ac + bb + bc + cc.
Mathematisch kann die Summe möglicher paarweiser Produkte ausgedrückt werden als:
$$mathrm{displaystylesumlimits_{i=1,j=i}^{ileq n,jleq n}:(i,j)=itime j}$$
Problemstellung
Gegeben eine Zahl n. Ermitteln Sie die Summe der paarweisen Produkte im Bereich (1, n), einschließlich n und 1.
Beispiel Beispiel 1
Input: n = 4
Output: 65
Erklärung
lautet:Erklärung
i reicht von 1 bis 4, j reicht von i bis 4.
1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 3*3 + 3*4 + 4*4 = 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 = 65
Beispiel Beispiel 2
Input: n = 10
Output: 1705
Erklärung
lautet:Erklärung
i reicht von 1 bis 10, j reicht von i bis 10.
1*1 + 1*2 + … + 1*10 + 2*2 + 2*3 + … + 2*10 + 3*3 + 3*4 + … + 3*10 + 4*4 + 4 *5 + … 4*10 + 5*5 + 5*6 + … + 5*10 + 6*6 + 6*7 + … 6*10 + 7*7 + 7*8 + … 7*10 + 8* 8 + 8*9 + 8*10 + 9*9 + 9*10 + 10*10 = 1705
Methode 1: Brute-Force-Cracking-Methode
Die Brute-Force-Lösung für dieses Problem besteht darin, zwei for-Schleifen zu verwenden, um alle möglichen Zahlenpaare im Bereich zu iterieren, wobei die erste Schleife von 1 bis n und die zweite Schleife von der ersten Zahl bis n iteriert.
Pseudocode
procedure pairwiseProduct (n) sum = 0 for i = 1 to n for j = i to n sum = sum + (i * j) end procedure
Beispiel: C++-Implementierung
Im folgenden Programm finden wir alle möglichen Paare und ermitteln dann die Summe der Produkte.
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){ unsigned long long sum = 0; // First number: 1 <= i <= n for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){ // Second number: i <= j <= n for (unsigned int j = i; j <= n; j++){ sum += i * j; } } return sum; } int main(){ unsigned long long n = 9; cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n); return 0; }
Ausgabe
Pairwise Product = 1155
Zeitkomplexität – O(n^2)
Raumkomplexität – O(1)
Methode 2
Nehmen Sie n = 4 als Beispiel,
I = 1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 3*3 + 3*4 + 4*4
Um das oben Gesagte zu vereinfachen:
I = 1*1 + (1+2)*2 + (1+2+3)*3 + (1+2+3+4)*4
Nehmen Sie prefix_sum[1] = 1,
Präfixsumme[2] = 1+2,
Summe der Präfixe[3] = 1+2+3,
Präfixsumme[2] = 1+2,
Pseudocode
procedure pairwiseProduct (n) sum = 0 prefixSum = 0 for i = 1 to n prefixSum = prefixSum + 1 sum = sum + i * prefixSum end procedure
Beispiel: C++-Implementierung
Im folgenden Programm ermitteln wir die Summe jeder Iteration, die Präfixsumme, multiplizieren sie mit der Anzahl der Iterationen und addieren sie dann bei jedem Schritt zur Endsumme.
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){ unsigned long long sum = 0; unsigned long long prefixSum = 0; for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){ prefixSum += i; sum += i * prefixSum; } return sum; } int main(){ unsigned long long n = 9; cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n); return 0; }
Ausgabe
Pairwise Product = 1155
Fazit
Kurz gesagt, um die Summe der paarweisen Produkte von Zahlen im Bereich von 1 bis n zu lösen, können wir eine der beiden oben genannten Methoden verwenden, die erste Methode ist die Brute-Force-Methode und die Zeitkomplexität beträgt O(n^). 2) Die zweite Methode ist eine Optimierungsmethode, die die Präfixsumme verwendet, um die Summe zweier Produkte zu berechnen, und die Zeitkomplexität beträgt O (n).
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