Die allgemeine Formel einer Folge zweiter Ordnung

Die Folge zweiter Ordnung der allgemeinen Formel der Folge

Gemäß dem Konzept einer rekursiven Sequenz erster Ordnung können wir einen rekursiven Ausdruck, der gleichzeitig an+2, an+1 und an enthält, als Sequenz zweiter Ordnung definieren. Im Vergleich zur Folge erster Ordnung ist die allgemeine Termformel der Folge zweiter Ordnung komplizierter. Um die Transformation zu erleichtern, erklären wir zunächst die einfache Form der Folge zweiter Ordnung:

an+2 = A * an+1 +B * an , (Ähnlich sind A, B konstante Koeffizienten) Die Grundidee ähnelt der ersten Ordnung, aber achten Sie beim Zusammensetzen auf die unbestimmten Koeffizienten und entsprechenden Terme

Zusammensetzung der Originalformel: Die Originalformel soll in diese Form umgewandelt werden: an+2 - ψ * an+1 = ω (an+1 - ψ * an)

Vergleichen Sie diese Formel mit der Originalformel, die wir erhalten können

ψ + ω = A und -(ψ*ω) = B

Durch das Lösen dieser beiden Gleichungen können wir die Werte von ψ und ω erhalten,

Sei bn = an+1 - ψ*an, die ursprüngliche Formel wird zur geometrischen Folge bn+1 = ω *bn, und die allgemeine Formel von bn kann erhalten werden: bn= f (n),

Anhand der gegebenen Gleichung an+1 - ψ*an = f(n) können wir beobachten, dass diese Formel tatsächlich die Definition einer Folge erster Ordnung ist. Diese Formel umfasst nur zwei Sequenzvariablen, an+1 und an, und kann daher als „Ordnungsreduktion“ betrachtet werden, bei der eine Sequenz zweiter Ordnung in eine Sequenz erster Ordnung umgewandelt wird, um das Problem zu lösen.

Der allgemeine Term der quadratischen Rekursionsformel zweiter Ordnung einer bestimmten Folge ist bekannt

A(n+1)=A(n)+A(n-1)-2A(n)*A(n-1)

Verformt zu 1-A(n+1)=(1-An)(1-A(n-1))

Sei Bn=1-An, erhalte

B(n+1)=Bn*B(n-1)

Wenn garantiert werden kann, dass Bn>0, dann können Sie den Logarithmus beider Seiten nehmen, um lgB(n+1)=lgBn+lgB(n-1) zu erhalten

Dann sei Cn=lgB(n+1), dann wird Cn zur Fibonacci-Folge, das Folgende wird weggelassen

Wenn Bn>0 nicht garantiert werden kann, beachten Sie B3=B2B1

B4=(B2)^2*B1

B5=(B2)^3*(B1)^2

B6=(B2)^5*(B1)^3

Beachten Sie, dass Bn=(B2)^x*(B1)^y

Offensichtlich sind x und y beide Fibonacci-Zahlen, das Folgende wird weggelassen

(Sie können online nach der Fibonacci-Folge suchen. Die allgemeinen Begriffe sind komplizierter und werden hier nicht beschrieben.)

Bitte beachten Sie, dass das mit der oben genannten Methode erhaltene Ergebnis Cn oder Bn sein kann und Sie am Ende An=1-Bn umrechnen müssen. Vergessen Sie es nicht

Wie leitet man die allgemeine Termformel aus der Rekursionsformel zweiter Ordnung ab?

a(n+1)+pan+qa(n-1)=0

Angenommen, a(n+1)+xan=y[an+xa(n-1)]

a(n+1)+(x-y)an-xya(n-1)=0

x-y=p

xy=-q

x1=p+√(p^2-4q）,y1=√(p^2-4q）,

x2=p-√(p^2-4q）,y2=-√(p^2-4q）,

a(n+1)+x1an=y1[an+x1a(n-1)]

a(n+1)+x2an=y2[an+x2a(n-1)]

Teilen Sie die beiden Gleichungen:

[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=(y1/y2){[an+x1a(n-1)]/[an+x2a(n-1)] }

Angenommen, bn=[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]

bn=(y1/y2)b(n-1)=-b(n-1)

bn=b1(-1)^(n-1),b1=[a2+x1a1]/[a2+x2a1]

[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=b1(-1)^(n-1)

a(n+1)+x1an=b1[a(n+1)+x2an](-1)^(n-1)

=[b1(-1)^(n-1)]a(n+1)+[b1(-1)^(n-1)]x2an

[1-b1(-1)^(n-1)]a(n+1)={[b1(-1)^(n-1)]x2-x1}an

[1-b1(-1)^(n-2)]an={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}a(n-1)

[1-b1(-1)^(n-3)]a(n-1)={[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}a(n-2)

……

[1-b1(-1)^2]a4={[b1(-1)^2]x2-x1}a3

[1-b1(-1)^1]a3={[b1(-1)^1]x2-x1}a2

[1-b1(-1)^0]a2={[b1(-1)^0]x2-x1}a1

Beide Seiten multiplizieren:

[1-b1(-1)^(n-2)][1-b1(-1)^(n-3)]……[1-b1(-1)^2][1-b1(- 1)^1][1-b1(-1)^0]an

={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}{[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}……{[b1(-1)^2] x2-x1}{[b1(-1)^1]x2-x1}{[b1(-1)^0]x2-x1}a1

Die Koeffizienten auf beiden Seiten sind bekannt und an ist ausgeschlossen (solange a1 angegeben ist).

Wenn p und q bestimmte Zahlen sind, können beide Seiten vereinfacht werden.

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonDie allgemeine Formel einer Folge zweiter Ordnung. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!