Der Unterschied zwischen verallgemeinerten linearen Modellen und gewöhnlichen linearen Modellen

Verallgemeinerte lineare Modelle und allgemeine lineare Modelle sind in der Statistik häufig verwendete Regressionsanalysemethoden. Obwohl die beiden Begriffe ähnlich sind, unterscheiden sie sich in einigen Punkten. Verallgemeinerte lineare Modelle ermöglichen es der abhängigen Variablen, einer nichtnormalen Verteilung zu folgen, indem sie die Prädiktorvariablen über eine Verknüpfungsfunktion mit der abhängigen Variablen verknüpfen. Das allgemeine lineare Modell geht davon aus, dass die abhängige Variable einer Normalverteilung folgt und verwendet lineare Beziehungen zur Modellierung. Daher ist das verallgemeinerte lineare Modell flexibler und hat einen größeren Anwendungsbereich.

1. Definition und Geltungsbereich

Das allgemeine lineare Modell ist eine Regressionsanalysemethode, die für Situationen geeignet ist, in denen eine lineare Beziehung zwischen der abhängigen Variablen und der unabhängigen Variablen besteht. Dabei wird davon ausgegangen, dass die abhängige Variable einer Normalverteilung folgt.

Das verallgemeinerte lineare Modell ist eine Regressionsanalysemethode, die für abhängige Variablen geeignet ist, die nicht unbedingt einer Normalverteilung folgen. Es kann die Beziehung zwischen abhängigen Variablen und unabhängigen Variablen beschreiben, indem es Verknüpfungsfunktionen und Verteilungsfamilien einführt.

2. Verteilungsannahme

Allgemeines lineares Modell: Das allgemeine lineare Modell geht davon aus, dass die abhängige Variable einer Normalverteilung folgt, was bedeutet, dass sie für kontinuierliche, symmetrisch verteilte abhängige Variablen geeignet ist.

Verallgemeinertes lineares Modell: Das verallgemeinerte lineare Modell macht keine spezifischen Annahmen über die Verteilung der abhängigen Variablen und kann auf viele Arten abhängiger Variablen angewendet werden, wie z. B. Binomialverteilung, Poisson-Verteilung usw.

3. Verknüpfungsfunktion

Allgemeines lineares Modell: Die im allgemeinen linearen Modell verwendete Verknüpfungsfunktion ist die Identitätsfunktion, die die lineare Kombination unabhängiger Variablen direkt auf die abhängige Variable abbildet.

Verallgemeinertes lineares Modell: Das verallgemeinerte lineare Modell ordnet die lineare Kombination unabhängiger Variablen durch Einführung einer Verknüpfungsfunktion einem geeigneten Bereich zu. Für die Binomialverteilung können Sie beispielsweise die Logit-Funktion als Verknüpfungsfunktion verwenden, um Linearkombinationen unabhängiger Variablen auf Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 abzubilden.

4. Verteilungsfamilie

Allgemeines lineares Modell: Die abhängige Variable im allgemeinen linearen Modell folgt der Normalverteilung, daher ist die Verteilungsfamilie die Normalverteilungsfamilie.

Verallgemeinertes lineares Modell: Die abhängige Variable im verallgemeinerten linearen Modell kann einer Vielzahl von Verteilungen folgen, sodass mehrere Verteilungsfamilien zur Auswahl stehen, z. B. die Binomialverteilungsfamilie, die Poisson-Verteilungsfamilie usw.

5. Parameterschätzung

Allgemeines lineares Modell: Das allgemeine lineare Modell verwendet die Methode der kleinsten Quadrate zur Parameterschätzung.

Verallgemeinertes lineares Modell: Das verallgemeinerte lineare Modell verwendet die Maximum-Likelihood-Methode zur Parameterschätzung.

6. Modelloptimierung

Allgemeines lineares Modell: Zur Modelloptimierung in allgemeinen linearen Modellen können verschiedene Methoden verwendet werden, z. B. schrittweise Regression, Kreuzvalidierung usw.

Verallgemeinertes lineares Modell: In verallgemeinerten linearen Modellen gibt es relativ wenige Optimierungsmethoden, und zur Modelloptimierung wird im Allgemeinen die Maximum-Likelihood-Methode verwendet.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das verallgemeinerte lineare Modell eine umfassendere Regressionsanalysemethode ist, die für Situationen geeignet ist, in denen die abhängige Variable nicht unbedingt einer Normalverteilung folgt. Es führt Verknüpfungsfunktionen und Verteilungsfamilien ein, um die Beziehung zwischen abhängigen Variablen und unabhängigen Variablen zu beschreiben. Im Gegensatz dazu geht das allgemeine lineare Modell davon aus, dass die abhängige Variable einer Normalverteilung folgt, die Identitätsfunktion als Verknüpfungsfunktion verwendet und für symmetrisch verteilte abhängige Variablen geeignet ist. In praktischen Anwendungen müssen geeignete Modelle basierend auf spezifischen Problemen ausgewählt werden.

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