Ist das N-S-Gleichungsproblem gelöst? Gegenübergestellt mit der Riemann-Hypothese ist der Sieg des Millennium-Mathematikrätsels in Sicht

Dies ist eines der bekanntesten ungelösten Probleme der Mathematik. Das neue Werk wurde einem Peer-Review unterzogen und der vollständige Text ist verfügbar.

Es boomt. Kündigt die Strömungsmechanik ihren eigenen supraleitenden Moment an?

In den letzten Tagen wird in Mathematikkreisen aktiv darüber diskutiert, dass die reguläre Hamilton-Formel des Navier-Stokes-Problems endlich aufgetaucht ist – dieses ungelöste Problem in der Geschichte der Mathematik könnte eine Antwort haben. Früher galt dies sogar allgemein als unmöglich.

Wie wichtig ist das? Die Navier-Stokes-Gleichung wurde im Jahr 2000 wie die Riemann-Hypothese als eines der „Sieben Millenniums-Mathematikprobleme“ aufgeführt.

Diese sieben Weltklasse-Probleme sind: NP-vollständiges Problem, Hodge-Vermutung, Poincaré-Vermutung, Riemann-Hypothese, Yang-Mills-Existenz und Massenlücke, Navier-Stokes-Gleichung, BSD-Vermutung. Jedes der sieben Probleme ist mit einer Million US-Dollar dotiert. In mehr als 20 Jahren wurde nur die „Poincaré-Vermutung“ von dem talentierten russischen Mathematiker Perelman gelöst.

Die meisten von ihnen sind bekannt, aber die „Navier-Stokes-Gleichung“ (N-S-Gleichung) scheint unter ihnen seltener erwähnt zu werden. Der Grund könnte sein, dass dieses Problem zu schwer zu verstehen ist (Studenten, die an der Hochschule den Kurs „Fluidmechanik“ belegt haben, werden definitiv eine Idee haben). Manche glauben sogar, dass es sich um die komplexeste Formel in der Geschichte der Mathematik handelt.

Um es einfach auszudrücken: Der Mathematiker Euler aus dem 18. Jahrhundert leitete in „Allgemeine Prinzipien der Flüssigkeitsbewegung“ eine Reihe von Gleichungen ab, die auf den Kraft- und Impulsänderungen basieren, die die Flüssigkeit erfährt, wenn sich die dünnflüssige Flüssigkeit bewegt.

Die Beschreibung der Eulerschen Gleichung schreibt eine Flüssigkeitsbewegung in einer idealisierten Welt vor, aber es gibt Reibung innerhalb der realen Flüssigkeit. Flüssigkeiten in der Natur sind viskos und werden zusammenfassend als viskose Flüssigkeiten oder echte Flüssigkeiten bezeichnet. Wenn wir beispielsweise Honig umrühren, spüren wir den Viskositätseffekt, und auch der Widerstand des fliegenden Flugzeugs wird größtenteils von der Viskosität der Luft abgeleitet.

Aufgrund der Viskosität tatsächlicher Flüssigkeiten wird unsere Untersuchung der Flüssigkeitsbewegung sehr kompliziert.

Im 19. Jahrhundert stellten der französische Ingenieur und Physiker Claude-Louis Navit und der irische Physiker und Mathematiker George Stokes das Flüssigkeitsgleichgewicht und die Bewegung unter Berücksichtigung intermolekularer Kräfte her und beschrieben die Komponentenform der Bewegung in kartesischen Koordinaten .

So nannten spätere Generationen die Navier-Stokes-Gleichung. Eine der gruseligsten partiellen Differentialgleichungen aller Zeiten.

^{Die Navier-Stokes-Gleichungen werden zur Beschreibung flüssiger Substanzen wie Flüssigkeiten und Luft verwendet. Diese Gleichungen setzen die Geschwindigkeit, mit der sich der Partikelimpuls einer Flüssigkeit ändert (die Kraft), mit den Änderungen des Drucks und der dissipativen viskosen Kräfte (analog zur Reibung) und der Schwerkraft in Beziehung, die auf das Innere der Flüssigkeit wirken. Diese viskosen Kräfte entstehen durch die Wechselwirkung von Molekülen und sagen uns, wie viskos eine Flüssigkeit ist. Auf diese Weise beschreiben die Navier-Stokes-Gleichungen das dynamische Gleichgewicht der Kräfte, die auf einen bestimmten Bereich einer Flüssigkeit wirken.}

Dies ist für viele technische Probleme von entscheidender Bedeutung.

Wenn es eine globale Lösung für das Navier-Stokes-Problem gibt, werden viele Technologien im Zusammenhang mit der Strömungsmechanik Durchbrüche erzielen, darunter unter anderem Luft- und Raumfahrt, Raketentriebwerke, Wettervorhersage, Pipeline-Transport und medizinischer Blutflussbau. Modul und so weiter.

Das Schwierige an diesem Gleichungssystem ist: Wie erklären wir es mithilfe der mathematischen Theorie? Selbst die mathematische Theorie, die Einsteins Feldgleichungen zur Beschreibung exotischer Schwarzer Löcher erklärt, ist einfacher als die Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen.

Der wichtige Durchbruch, den die genannten Personen erwähnten, stammt aus dem Aufsatz „Eine kanonische Hamiltonian-Formulierung des Navier-Stokes-Problems“, der am 1. April in der Top-Zeitschrift „Journal of Fluid Mechanics“ auf dem Gebiet der Strömungsmechanik veröffentlicht wurde:

...

In diesem Artikel wird eine neue Hamilton-Formel für das isotrope Navier-Stokes-Problem vorgeschlagen, die auf dem Prinzip der kleinsten Wirkung basiert, das vom Prinzip der kleinsten Quadrate abgeleitet ist. Die Formel verwendet Geschwindigkeit und Druck

als variable Feldgrößen sowie den aus der Analyse abgeleiteten kanonischen konjugierten Impuls. Auf dieser Grundlage konstruiert diese Studie eine konservierte Hamilton-Funktion H*, die die kanonische Hamilton-Gleichung erfüllt, und formuliert die zugehörigen Hamilton-Jakobian-Gleichungen für kompressible und inkompressible Strömungen. Diese Hamilton-Jakobian-Gleichung reduziert das Problem, vier unabhängige Feldgrößen

zu finden, auf die Suche nach einer einzigen Skalarfunktion zwischen diesen Feldern – Hamiltons Hauptfunktion
Darüber hinaus liefern die Hamilton- und Jacobi-Transformationen eine vorgeschriebene Methode zur Lösung des Navier-Stokes-Problems : S* finden.

Wenn der analytische Ausdruck von S * erhalten werden kann, erhält man durch kanonische Transformation einen neuen Satz von Feldern, der die analytischen Ausdrücke der ursprünglichen Geschwindigkeits- und Druckfelder ergibt. Diese Felder sind einfach äquivalent zu ihren ursprünglichen Wert. Andernfalls kann man nur beweisen, dass eine vollständige Lösung der Hamilton-Jacobian-Gleichung existiert oder nicht, was auch das Problem der Existenz der Lösung lösen würde.

Gibt es einen Millionenpreis für diese neue Forschung? Um zu gewinnen, müssen Forscher zeigen, dass es Lösungen für die dreidimensionalen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen gibt und dass, wenn es Lösungen gibt, diese Lösungen glatt sind.

Der Mathematiker Terence Tao dachte einmal, dass das schwierig sei.

Den aktuellen Fortschritten nach zu urteilen, haben neue Forschungsergebnisse die Lösung offener Probleme erleichtert, und wir haben einen großen Schritt nach vorne gemacht – wir haben die reguläre Hamilton-Formel der Navier-Stokes-Gleichung erkannt. Das könnte bedeuten, dass wir kann die Einschränkungen des Standard-Lagrange-Operators umgehen und das Problem auf die Suche nach einer einzelnen Skalarfunktion reduzieren.

Vielleicht sind wir nicht mehr weit davon entfernt, die zweite Frage des Millennium-Rätsels zu lösen.

Referenzinhalt:

^{https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/navier-Strecke-Equation/}

^{https: //zhuanlan.zhihu.com/p/263628141}

^{https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/}

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