Pourquoi l'intelligence artificielle pourrait révolutionner les mathématiques

Éditeur | Feuilles de chou

"Proposer une conjecture - une proposition soupçonnée d'être vraie, mais qui nécessite une preuve explicite - est comme un moment d'inspiration divine pour les mathématiciens. Les conjectures mathématiques ne sont pas seulement là. Contre-intuitivement, cependant, je Je pense qu'il s'agit du domaine le plus transformateur de l'intelligence artificielle, a déclaré Thomas Fink, directeur de l'Institut des sciences mathématiques de Londres.

En 2017, des chercheurs de l'Institut des sciences mathématiques de Londres ont commencé à appliquer l'apprentissage automatique aux données mathématiques comme passe-temps. Pendant la pandémie de COVID-19, ils ont découvert qu’un simple classificateur d’intelligence artificielle (IA) pouvait prédire le classement des courbes elliptiques, une mesure de leur complexité.

Lien papier : https://arxiv.org/abs/2204.10140

La courbe elliptique est le fondement de la théorie des nombres. Comprendre ses statistiques de base est une étape clé dans la résolution de l'un des sept problèmes du millénaire. sept puzzles majeurs sont sélectionnés par le Clay Mathematics Institute de Providence, Rhode Island, et reçoivent chacun 1 million de dollars. Rares sont ceux qui s’attendent à ce que l’intelligence artificielle joue un rôle dans ce domaine aux enjeux élevés.

L'intelligence artificielle a progressé dans d'autres domaines. Il y a quelques années, un programme informatique appelé Ramanujan Machine a produit de nouvelles formules pour des constantes fondamentales telles que π et e. Pour ce faire, il recherche de manière exhaustive les familles de fractions continues : fractions dont les dénominateurs sont un nombre plus une fraction, dont les dénominateurs sont également des fractions où un nombre plus une fraction est une fraction, et ainsi de suite. Certaines de ces conjectures ont été prouvées, tandis que d’autres restent irrésolues.

Lien papier : https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

Un autre exemple est lié à la théorie des nœuds, qui est une branche de la topologie dans laquelle on la corde s'emmêle avant que les extrémités ne collent ensemble. Les chercheurs de Google DeepMind ont formé un réseau neuronal à l'aide de données provenant de nombreux nœuds différents et ont découvert des relations inattendues entre leurs structures algébriques et géométriques.

Lien papier : https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

Comment l'intelligence artificielle peut-elle avoir un impact dans le domaine des mathématiques où la créativité humaine est considérée comme cruciale ?

Tout d’abord, il n’y a pas de hasard en mathématiques. Dans les expériences réelles, les faux négatifs et les faux positifs abondent. Mais en mathématiques, un contre-exemple renversera complètement la conjecture. Par exemple, la conjecture de Polya stipule que la plupart des entiers inférieurs à un entier donné ont un nombre impair de facteurs premiers. Mais en 1960, on découvrit que cette conjecture n’était pas vraie pour les nombres 906 180 359. La conjecture de Polya a été immédiatement réfutée.

Deuxièmement, les données mathématiques qui peuvent entraîner l'intelligence artificielle sont bon marché. Les nombres premiers, les nœuds et bien d’autres types d’objets mathématiques abondent. L'Encyclopédie en ligne des séquences entières (OEIS) contient près de 375 000 séquences, de la séquence familière de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) à la puissante séquence Busy Beaver (0, 1, 4 , 6, 13, ...), qui croît plus rapidement que n'importe quelle fonction calculable. Les scientifiques utilisent déjà des outils d’apprentissage automatique pour effectuer des recherches dans la base de données OEIS afin de découvrir des relations inattendues.

OEIS : https://oeis.org/

L'intelligence artificielle peut nous aider à découvrir des modèles et à formuler des conjectures. Mais toutes les hypothèses ne sont pas cohérentes. Ils sont également nécessaires pour améliorer notre compréhension des mathématiques. G. H. Hardy expliquait dans son article de 1940 « A Mathematician’s Apology » qu’un bon théorème « devrait faire partie intégrante de nombreuses constructions mathématiques utilisées pour prouver de nombreux types différents de théorèmes ».

En d’autres termes, les meilleurs théorèmes augmentent la probabilité d’en découvrir de nouveaux. Les conjectures qui nous aident à atteindre de nouvelles frontières mathématiques sont meilleures que celles qui fournissent moins d’informations. Mais pour les distinguer, il faut avoir une intuition sur la façon dont le domaine lui-même va se développer. Ce type de compréhension d’un contexte plus large dépassera pendant longtemps les capacités de l’intelligence artificielle, de sorte que la technologie aura du mal à repérer les suppositions importantes.

Malgré ces problèmes potentiels, l’adoption plus large des outils d’IA dans la communauté mathématique présente de nombreux avantages. L’intelligence artificielle peut apporter des avantages décisifs et ouvrir de nouvelles voies de recherche.

Les revues mathématiques grand public devraient également publier davantage de conjectures. Certains des problèmes les plus importants en mathématiques, tels que le dernier théorème de Fermat, l'hypothèse de Riemann, les 23 problèmes de Hilbert et les nombreuses identités de Ramanujan, ainsi que d'innombrables conjectures moins connues, ont façonné le développement de la direction du domaine. Les conjectures nous orientent dans la bonne direction, accélérant la recherche. Les articles de revues sur des conjectures étayées par des données ou des arguments heuristiques accéléreront la découverte.

En 2023, les chercheurs de Google DeepMind prédisent l’émergence de 2,2 millions de nouvelles structures cristallines. Mais il reste à voir combien de ces nouveaux matériaux potentiels sont stables, synthétisables et ont des applications pratiques. Actuellement, il s’agit principalement d’une tâche confiée à des chercheurs humains possédant une vaste expérience en science des matériaux.

Lien papier : https://www.nature.com/articles/s41586-023-06735-9

De même, comprendre le résultat des outils d'intelligence artificielle nécessite l'imagination et l'intuition d'un mathématicien. Par conséquent, l’IA n’agira que comme un catalyseur de la créativité humaine, et non comme un substitut.

Contenu associé : https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

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