Des progrès ont été réalisés pour la première fois depuis des décennies, les apprentis Tao Zhexuan et Zhao Yufei ont surmonté des problèmes de mathématiques combinatoires

Récemment, pour la première fois, des progrès ont été réalisés sur un problème mathématique non résolu vieux de plusieurs décennies.

Les moteurs de ces progrès sont James Leng, étudiant diplômé de l'UCLA, Ashwin Sah, étudiant diplômé en mathématiques du MIT, et Mehtaab Sawhney, professeur adjoint à l'Université de Columbia. Parmi eux, James Leng a étudié auprès du célèbre mathématicien Terence Tao et Ashwin Sah a étudié auprès du maître de mathématiques discret Zhao Yufei.

Adresse papier : https://arxiv.org/pdf/2402.17995

Pour comprendre l'avancée réalisée dans cette recherche, il faut commencer par les progressions arithmétiques.

La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est appelée une série arithmétique, également appelée série arithmétique. En 1936, les mathématiciens Paul Erdős et Pál Turán ont émis l'hypothèse que si un ensemble est constitué de fractions non nulles d'entiers (même 0,00000001 %), alors il doit contenir une série arithmétique arbitrairement longue. Les seuls ensembles qui peuvent éviter les séries arithmétiques sont ceux qui contiennent une partie « négligeable » des entiers. Par exemple, l'ensemble {2, 4, 8, 16,…}, où chaque nombre est le double du nombre précédent, s'étale le long de l'axe des nombres sans progression.

En 1975, le mathématicien Endre Szemerédi a prouvé cette conjecture. Ses travaux ont donné naissance à diverses directions de recherche que les mathématiciens explorent encore aujourd’hui.

Les mathématiciens ont établi le résultat de Szemerédi dans le contexte d'un ensemble fini de nombres (tous les nombres entiers de 1 à un nombre N). Quelle part de la réserve initiale peut être utilisée dans l’extension avant d’inclure inévitablement une série interdite ? Comment cette proportion change-t-elle lorsque N change ?

Par exemple, que N soit 20, combien de ces 20 nombres peuvent être écrits tout en évitant les séries de 5 nombres ou plus ? Il s’avère que la réponse est de 16 à 80 % du pool initial.

Szemerédi a été le premier à montrer que lorsque N grandit, cette fraction doit diminuer jusqu'à zéro, et les mathématiciens ont depuis tenté de quantifier la rapidité avec laquelle cela se produit.

L'année dernière, des travaux révolutionnaires menés par deux informaticiens ont presque résolu le problème des séries à trois termes, telles que {6, 11, 16}. Mais le problème devient plus difficile lorsque l’on essaie d’éviter les séries arithmétiques de quatre termes ou plus. En effet, les séries plus longues reflètent des structures sous-jacentes difficiles à révéler à l’aide des méthodes mathématiques classiques.

Les nombres x, y et z dans la série arithmétique à trois termes satisfont toujours à l'équation simple x – 2y + z = 0 (en prenant la série {10, 20, 30} comme exemple : 10 – 2*(20) + 30 = 0), il est relativement facile de prouver si un ensemble contient des nombres qui satisfont à cette condition. Alors que les nombres d'une série de quatre termes doivent également satisfaire l'équation plus complexe x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0, une série de cinq termes ou plus doit satisfaire une équation encore plus complexe. Cela signifie que les ensembles contenant de telles séries présenteront des motifs plus subtils. Il serait également plus difficile pour les mathématiciens de prouver qu’un tel modèle existe.

À la fin des années 1990, le mathématicien Timothy Gowers a proposé une théorie pour surmonter cet obstacle. Il a ensuite reçu la médaille Fields, la plus haute distinction mathématique, en partie pour ce travail. En 2001, il a appliqué sa méthode au théorème de Szemerédi, prouvant de meilleures limites sur la taille maximale de l'ensemble, évitant ainsi les séries arithmétiques pour une longueur donnée.

En 2022, James Leng, alors étudiant de deuxième année à l'UCLA, a commencé à comprendre la théorie de Gowers. Il n'a pas considéré le théorème de Szemerédi. Il espère plutôt répondre aux questions sur l'approche de Gowers.

Cependant, après avoir essayé d'explorer pendant plus d'un an, il n'a rien trouvé.

Sah et Sawhney, qui ont réfléchi à des questions connexes, ont découvert le travail de Leng et ont été très intéressés. Sawhney a même déclaré : « Je suis surpris de pouvoir penser ainsi.

Sah et Sawhney ont réalisé que les recherches de Leng pourraient les aider à progresser davantage sur le théorème de Szemerédi. En quelques mois, trois jeunes mathématiciens ont découvert comment obtenir de meilleures limites supérieures pour la taille des ensembles sans séries penttermes. Ils ont ensuite étendu leurs travaux à des séries de longueurs arbitraires, marquant le premier progrès sur le problème au cours des 23 années écoulées depuis la preuve de Gowers.

Soit désignant , la taille du plus grand sous-ensemble d'une série arithmétique sans k termes. Leng, Sah et Sawhney ont montré que pour k ≥ 5, il existe c_k > 0 tel que .

Équipe de recherche

Le premier auteur de l'article, James Leng, est un étudiant diplômé en mathématiques à l'Université de Californie à Los Angeles (UCLA) et a obtenu son diplôme de premier cycle à l'Université de Californie à Berkeley. Il a étudié auprès du célèbre mathématicien Terence Tao.

Les intérêts de recherche de James Leng incluent la combinatoire arithmétique, les systèmes dynamiques, l'analyse de Fourier, etc. Ses recherches ont également été soutenues par une bourse d'études supérieures de la NSF.

                                                                   ^{. À l'été 2016, Sah, 16 ans, a remporté la médaille d'or à l'Olympiade internationale de mathématiques (OMI). L'année suivante, il est entré au MIT pour étudier.}

                                                                                                                                                         Ashwin Sah

^{Durant ses études au MIT, deux personnes ont joué un rôle important dans le développement mathématique de Sah. Le premier est le professeur Yufei Zhao, maître en mathématiques discrètes, qui est également le tuteur diplômé de Sah.} Le deuxième est Mehtaab Sawhney, ils se sont rencontrés en classe et sont devenus amis. Plus tard, les deux hommes ont fait des recherches ensemble et ont discuté de divers sujets dans le domaine des mathématiques discrètes, tels que la théorie des graphes, la théorie des probabilités et les propriétés des matrices aléatoires. Ashwin Sah et Mehtaab Sawhney se sont rencontrés fin 2017 alors qu'ils étaient étudiants de premier cycle au (MIT). Depuis lors, ils ont écrit ensemble un nombre incroyable de 57 preuves mathématiques, dont beaucoup ont eu de profondes conséquences dans divers domaines.

                                    Mehtaab Sawhney

^{Mehtaab Sawhney est actuellement professeur adjoint à l'Université de Columbia. Ses intérêts de recherche comprennent, entre autres, la combinatoire, les probabilités et l'informatique théorique.}

Lien de référence : https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/

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