Leetcode : Produit de tableau sauf soi

Ce problème semble simple à résoudre dans le temps et dans l’espace linéaires. Ce problème s'appuie sur certains des concepts fondamentaux des tableaux.

1. Traversées de tableaux.
2. Somme des préfixes et suffixes.

Les entreprises qui ont posé cette question lors de leur entretien de codage sont Facebook, Amazon, Apple, Netflix, Google, Microsoft, Adobe et bien d'autres entreprises technologiques de premier plan.

Énoncé du problème

Étant donné un tableau entier nums, renvoie un tableau réponse tel que réponse[i] est égal au produit de tous les éléments de nums sauf nums[i].

Le produit de tout préfixe ou suffixe de nombres est garanti pour tenir dans un entier 32 bits.

Vous devez écrire un algorithme qui s'exécute en temps O(n) et sans utiliser l'opération de division.

Cas de test n°1 :

Input: nums = [1,2,3,4]
Output: [24,12,8,6]

Cas de test n°2 :

Input: nums = [-1,1,0,-3,3]
Output: [0,0,9,0,0]

Comprendre le problème

Ce problème semble plus simple à résoudre dans un temps et un espace linéaires, mais il est délicat lors de l'écriture du pseudocode ou de l'implémentation réelle du code.

Illustration

Voyons quels sont les résultats attendus d'un simple tableau contenant 4 éléments :

input = {1, 2, 3, 4}

Ainsi, la valeur de chaque index est le produit de tous les autres éléments du tableau à l'exception de la valeur elle-même. La figure suivante illustre cela.

Sur la base du chiffre ci-dessus, nous pouvons trouver une formule. Pour tout indice i donné, nous pouvons trouver la valeur en utilisant le produit des éléments de o à (i - 1) plus le produit des éléments de (i 1) à (N - 1). Ceci est illustré dans la figure suivante :

Processus de pensée

Avant d'écrire du pseudo-code, posez des questions et posez-les à l'intervieweur.

1. Dois-je m'inquiéter des doublons ?
2. Que se passe-t-il si le tableau est vide ou comporte un seul élément ? Quels sont les résultats attendus ?
3. Dois-je considérer/ignorer la valeur 0 dans l'un des index du tableau ? car toutes les autres valeurs obtiennent 0 sauf l'index contenant 0.
4. Quels sont les cas de coin/bord pour ce problème ?

Une fois que vous et l'intervieweur avez discuté des questions ci-dessus, concevez différentes approches pour résoudre le problème.

1. Approche naïve/force brute.
2. Produit de tous les éléments.
3. Produits gauche et droite.
4. Sommes des préfixes et suffixes.

Approche 1 : Naïf/Brute-force

Intuition

Pour utiliser l'approche par force brute, nous devons exécuter deux boucles for. Lorsque l'index de la boucle externe correspond à la valeur de l'index de la boucle interne, nous devons ignorer le produit ; sinon, nous procédons au produit.

Algorithme

1. Initialiser les variables :
   • N = nums.length (longueur du tableau d'entrée).
   • result = new int[N] (tableau pour stocker les résultats).
2. Boucle externe (Parcourir chaque élément en nombres) :
   • Pour i = 0 à N-1 : Initialiser currentProduct = 1.
3. Boucle intérieure (Calculer le produit pour l'élément actuel), pour j = 0 à N-1 :
   • Si i == j, ignorez l'itération en cours en utilisant continuer.
   • Multiplier le produit actuel par nums[j].
   • Attribuer le produit actuel au résultat[i].
4. Résultat de retour.

Code

// brute force
static int[] bruteForce(int[] nums) {
    int N = nums.length;
    int[] result = new int[N];

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int currentProduct = 1;
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            if (i == j) {
                continue;
            }
            currentProduct *= nums[j];
        }
        result[i] = currentProduct;
    }
    return result;
}

Analyse de complexité

1. Complexité temporelle : O(n^2), pour itérer deux fois le tableau dans des boucles externes et internes.
2. Complexité de l'espace : O(n), pour l'espace auxiliaire (tableau result[]) que nous avons utilisé.

Approche 2 : Produit de tableau ❌

La plupart des développeurs pensent qu'il faut exécuter une somme de produits de tous les éléments, diviser la somme de produits par chaque valeur du tableau et renvoyer le résultat.

Pseudocode

// O(n) time and O(1) space
p = 1
for i -> 0 to A[i]
  p * = A[i]
for i -> 0 to (N - 1)
  A[i] = p/A[i] // if A[i] == 0 ? BAM error‼️  

Code

// code implementation
static int[] productSum(int[] nums) {
    int product_sum = 1;
    for(int num: nums) {
        product_sum *= num;
    }

    for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
        nums[i] = product_sum/nums[i];
    }
    return nums;
}

Et si l'un des éléments du tableau contient 0 ? ?

La valeur de tous les index, à l'exception de l'index contenant 0, sera définitivement l'infini. De plus, le code renvoie java.lang.ArithmeticException.

Exception in thread "main" java.lang.ArithmeticException: / by zero
    at dev.ggorantala.ds.arrays.ProductOfArrayItself.productSum(ProductOfArrayItself.java:24)
    at dev.ggorantala.ds.arrays.ProductOfArrayItself.main(ProductOfArrayItself.java:14)

Approche 3 : Rechercher le produit Préfixe et Suffixe

Apprenez-en plus sur la somme des préfixes et des suffixes dans le cours de maîtrise des tableaux sur mon site Web https://ggorantala.dev

Intuition et formules

Le préfixe et le suffixe sont calculés avant d'écrire un algorithme pour le résultat. Les formules de somme des préfixes et des suffixes sont données ci-dessous :

Algorithm Steps

1. Create an array result of the same length as nums to store the final results.
2. Create two additional arrays prefix_sum and suffix_sum of the same length as nums.
3. Calculate Prefix Products:
   • Set the first element of prefix_sum to the first element of nums.
   • Iterate through the input array nums starting from the second element (index 1). For each index i, set prefix_sum[i] to the product of prefix_sum[i-1] and nums[i].
4. Calculate Suffix Products:
   • Set the last element of suffix_sum to the last element of nums.
   • Iterate through the input array nums starting from the second-to-last element (index nums.length - 2) to the first element. For each index i, set suffix_sum[i] to the product of suffix_sum[i+1] and nums[i].
5. Calculate the result: Iterate through the input array nums.
   • For the first element (i == 0), set result[i] to suffix_sum[i + 1].
   • For the last element (i == nums.length - 1), set result[i] to prefix_sum[i - 1].
   • For all other elements, set result[i] to the product of prefix_sum[i - 1] and suffix_sum[i + 1].
6. Return the result array containing the product of all elements except the current element for each index.

Pseudocode

Function usingPrefixSuffix(nums):
    N = length of nums
    result = new array of length N
    prefix_sum = new array of length N
    suffix_sum = new array of length N

    // Calculate prefix products
    prefix_sum[0] = nums[0]
    For i from 1 to N-1:
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] * nums[i]

    // Calculate suffix products
    suffix_sum[N-1] = nums[N-1]
    For i from N-2 to 0:
        suffix_sum[i] = suffix_sum[i+1] * nums[i]

    // Calculate result array
    For i from 0 to N-1:
        If i == 0:
            result[i] = suffix_sum[i+1]
        Else If i == N-1:
            result[i] = prefix_sum[i-1]
        Else:
            result[i] = prefix_sum[i-1] * suffix_sum[i+1]

    Return result

Code

// using prefix and suffix arrays
private static int[] usingPrefixSuffix(int[] nums) {
    int[] result = new int[nums.length];

    int[] prefix_sum = new int[nums.length];
    int[] suffix_sum = new int[nums.length];

    // prefix sum calculation
    prefix_sum[0] = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] * nums[i];
    }

    // suffix sum calculation
    suffix_sum[nums.length - 1] = nums[nums.length - 1];
    for (int i = nums.length - 2; i >= 0; i--) {
        suffix_sum[i] = suffix_sum[i + 1] * nums[i];
    }

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (i == 0) { // when variable `i` is at 0th index
            result[i] = suffix_sum[i + 1];
        } else if (i == nums.length - 1) { // when variable `i` is at last index 
            result[i] = prefix_sum[i - 1];
        } else { // for all other indexes
            result[i] = prefix_sum[i - 1] * suffix_sum[i + 1];
        }
    }
    return result;
}

Complexity analysis

1. Time complexity: The time complexity of the given code is O(n), where n is the length of the input array nums. This is because:
   • Calculating the prefix_sum products take O(n) time.
   • Calculating the suffix_sum products take O(n) time.
   • Constructing the result array takes O(n) time.

Each of these steps involves a single pass through the array, resulting in a total time complexity of O(n)+O(n)+O(n) = 3O(n), which is O(n).

1. Space complexity: The space complexity of the given code is O(n). This is because:
   • The prefix_sum array requires O(n) space.
   • The suffix_sum array requires O(n) space.
   • Theresult array requires O(n) space. All three arrays are of length n, so the total space complexity is O(n) + O(n) + O(n) = 3O(n), which is O(n).

Optimization ?

For the suffix array calculation, we override the input nums array instead of creating one.

private static int[] usingPrefixSuffixOptimization(int[] nums) {
    int[] result = new int[nums.length];

    int[] prefix_sum = new int[nums.length];

    // prefix sum calculation
    prefix_sum[0] = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] * nums[i];
    }

    // suffix sum calculation, in-place - `nums` array override
    for (int i = nums.length - 2; i >= 0; i--) {
        nums[i] = nums[i + 1] * nums[i];
    }

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (i == 0) { // when variable `i` is at 0th index
            result[i] = nums[i + 1];
        } else if (i == nums.length - 1) { // when variable `i` is at last index
            result[i] = prefix_sum[i - 1];
        } else { // for all other indexes
            result[i] = prefix_sum[i - 1] * nums[i + 1];
        }
    }
    return result;
}

Hence, we reduced the space of O(n). Time and space are not reduced, but we did a small optimization here.

Approach 4: Using Prefix and Suffix product knowledge ?

Intuition

This is a rather easy approach when we use the knowledge of prefix and suffix arrays.

For every given index i, we will calculate the product of all the numbers to the left and then multiply it by the product of all the numbers to the right. This will give us the product of all the numbers except the one at the given index i. Let's look at a formal algorithm that describes this idea more clearly.

Algorithm steps

1. Create an array result of the same length as nums to store the final results.
2. Create two additional arrays prefix_sum and suffix_sum of the same length as nums.
3. Calculate Prefix Products:
   • Set the first element of prefix_sum to 1.
   • Iterate through the input array nums starting from the second element (index 1). For each index i, set prefix_sum[i] to the product of prefix_sum[i - 1] and nums[i - 1].
4. Calculate Suffix Products:
   • Set the last element of suffix_sum to 1.
   • Iterate through the input array nums starting from the second-to-last element (index nums.length - 2) to the first element.
   • For each index i, set suffix_sum[i] to the product of suffix_sum[i + 1] and nums[i + 1].
5. Iterate through the input array nums.
   • For each index i, set result[i] to the product of prefix_sum[i] and suffix_sum[i].
6. Return the result array containing the product of all elements except the current element for each index.

Pseudocode

Function prefixSuffix1(nums):
    N = length of nums
    result = new array of length N
    prefix_sum = new array of length N
    suffix_sum = new array of length N

    // Calculate prefix products
    prefix_sum[0] = 1
    For i from 1 to N-1:
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] * nums[i-1]

    // Calculate suffix products
    suffix_sum[N-1] = 1
    For i from N-2 to 0:
        suffix_sum[i] = suffix_sum[i+1] * nums[i+1]

    // Calculate result array
    For i from 0 to N-1:
        result[i] = prefix_sum[i] * suffix_sum[i]

    Return result

Code

private static int[] prefixSuffixProducts(int[] nums) {
    int[] result = new int[nums.length];

    int[] prefix_sum = new int[nums.length];
    int[] suffix_sum = new int[nums.length];

    prefix_sum[0] = 1;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] * nums[i - 1];
    }

    suffix_sum[nums.length - 1] = 1;
    for (int i = nums.length - 2; i >= 0; i--) {
        suffix_sum[i] = suffix_sum[i + 1] * nums[i + 1];
    }

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        result[i] = prefix_sum[i] * suffix_sum[i];
    }

    return result;
}

Complexity analysis

1. Time complexity: The time complexity of the given code is O(n), where n is the length of the input array nums. This is because:
   • Calculating the prefix_sum products take O(n) time.
   • Calculating the suffix_sum products take O(n) time.
   • Constructing the result array takes O(n) time.

Each of these steps involves a single pass through the array, resulting in a total time complexity of O(n)+O(n)+O(n) = 3O(n), which is O(n).

1. Space complexity: The space complexity of the given code is O(n). This is because:
   • The prefix_sum array requires O(n) space.
   • The suffix_sum array requires O(n) space.
   • The result array requires O(n) space.

All three arrays are of length n, so the total space complexity is O(n) + O(n) + O(n) = 3O(n), which is O(n).

Approach 5: Carry Forward technique

Intuition

The carry forward technique optimizes us to solve the problem with a more efficient space complexity. Instead of using two separate arrays for prefix and suffix products, we can use the result array itself to store intermediate results and use a single pass for each direction.

Here’s how you can implement the solution using the carry-forward technique:

Algorithm Steps for Carry Forward Technique

1. Initialize Result Array:
   • Create an array result of the same length as nums to store the final results.
2. Calculate Prefix Products:
   • Initialize a variable prefixProduct to 1.
   • Iterate through the input array nums from left to right. For each index i, set result[i] to the value of prefixProduct. Update prefixProduct by multiplying it with nums[i].
3. Calculate Suffix Products and Final Result:
   • Initialize a variable suffixProduct to 1.
   • Iterate through the input array nums from right to left. For each index i, update result[i] by multiplying it with suffixProduct. Update suffixProduct by multiplying it with nums[i].
4. Return the result array containing the product of all elements except the current element for each index.

Pseudocode

prefix products
    prefixProduct = 1
    For i from 0 to N-1:
        result[i] = prefixProduct
        prefixProduct = prefixProduct * nums[i]

    // Calculate suffix products and finalize result
    suffixProduct = 1
    For i from N-1 to 0:
        result[i] = result[i] * suffixProduct
        suffixProduct = suffixProduct * nums[i]

    Return result

Code

// carry forward technique
private static int[] carryForward(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[] result = new int[n];

    // Calculate prefix products
    int prefixProduct = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result[i] = prefixProduct;
        prefixProduct *= nums[i];
    }

    // Calculate suffix products and finalize the result
    int suffixProduct = 1;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        result[i] *= suffixProduct;
        suffixProduct *= nums[i];
    }
    return result;
}

Explanation

1. Prefix Products Calculation:
   • We initialize prefixProduct to 1 and update each element of result with the current value of prefixProduct.
   • Update prefixProduct by multiplying it with nums[i].
2. Suffix Products Calculation:
   • We initialize suffixProduct to 1 and update each element of result(which already contains the prefix product) by multiplying it with suffixProduct.
   • Update suffixProduct by multiplying it with nums[i].

Complexity analysis

1. Time Complexity: O(n) time
2. Space Complexity: O(n) (for the result array)

This approach uses only a single extra array (result) and two variables (prefixProduct and suffixProduct), achieving efficient space utilization while maintaining O(n) time complexity.

Ce qui précède est le contenu détaillé de. pour plus d'informations, suivez d'autres articles connexes sur le site Web de PHP en chinois!