Comment calculer récursivement toutes les partitions d'un ensemble ?

Comment calculer toutes les partitions d'un ensemble

Introduction

Étant donné un ensemble de valeurs, il peut être utile de trouver toutes les manières possibles de le diviser en sous-ensembles, appelés partitions. Chaque partition représente un arrangement unique des éléments au sein de l'ensemble. Cela peut s’avérer une opération précieuse pour diverses applications, telles que l’optimisation combinatoire et la théorie des graphes. Dans cet article, nous explorerons une solution récursive élégante à ce problème.

Algorithme de partitionnement récursif

Pour générer toutes les partitions d'un ensemble, nous utilisons un algorithme récursif qui divise systématiquement l’ensemble en sous-ensembles plus petits. Voici une description étape par étape :

1. Partitionnement en deux parties :

   a. Représentez chaque élément de l'ensemble sous forme de représentation binaire.
   b. Créez tous les modèles binaires possibles en comptant de 0 à (2^n)-1, où n est le nombre d'éléments dans l'ensemble.
   c. Pour chaque modèle binaire, placez les éléments avec un bit « 0 » dans le premier sous-ensemble et les éléments avec un bit « 1 » dans le deuxième sous-ensemble, à l'exclusion du premier élément, qui va toujours dans le premier sous-ensemble.

2. Partitionnement récursif :

   a. Pour chaque partition en deux parties, trouvez récursivement toutes les façons de partitionner le deuxième sous-ensemble en deux parties.
   b. Continuez à partitionner de manière récursive la dernière partie jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un seul élément dans chaque sous-ensemble.

Implémentation

Voici un exemple d'implémentation C# du récursif algorithme de partitionnement :

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace PartitionTest {
    public static class Partitioning {
        public static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[] elements) {
            return GetAllPartitions(new T[][]{}, elements);
        }

        private static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(
            T[][] fixedParts, T[] suffixElements)
        {
            // ...implementation goes here...
        }
    }
}

Cette implémentation génère toutes les partitions d'un ensemble d'éléments donné en utilisant les techniques décrites ci-dessus.

Exemple

Appel de Partitioning.GetAllPartitions(new[] { 1, 2, 3, 4 }) avec l'ensemble {1, 2, 3, 4 } donnerait ce qui suit partitions :

{ {1, 2, 3, 4} }
{ {1, 3, 4}, {2} }
{ {1, 2, 4}, {3} }
{ {1, 4}, {2, 3} }
{ {1, 4}, {2}, {3} }
{ {1, 2, 3}, {4} }
{ {1, 3}, {2, 4} }
{ {1, 3}, {2}, {4} }
{ {1, 2}, {3, 4} }
{ {1, 2}, {3}, {4} }
{ {1}, {2, 3, 4} }
{ {1}, {2, 4}, {3} }
{ {1}, {2, 3}, {4} }
{ {1}, {2}, {3, 4} }
{ {1}, {2}, {3}, {4} }

Conclusion

Cet article présente un algorithme récursif complet pour partitionner un ensemble. Il s’agit d’une technique puissante qui peut être facilement mise en œuvre et utilisée pour résoudre un large éventail de problèmes combinatoires. En décomposant récursivement le problème en instances plus petites, cet algorithme génère efficacement toutes les partitions possibles de l'ensemble d'origine.

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