La sous-séquence commune la plus longue est obtenue en prenant autant de caractères que possible des deux séquences données X et Y, et en les organisant dans l'ordre dans lequel ils sont disposés dans la séquence d'origine. L'algorithme pour les problèmes LCS a un large éventail d'utilisations. Par exemple, dans la gestion de différentes versions de logiciels, l'algorithme LCS est utilisé pour trouver les similitudes et les différences entre l'ancienne et la nouvelle version dans les tests de logiciels. utilisé pour comparer des séquences enregistrées et rejouées ; dans le domaine du génie génétique, l'algorithme LCS est utilisé. L'algorithme vérifie les similitudes et les différences entre le brin d'ADN du patient et le brin d'ADN de la liaison dans le système anti-plagiat, l'algorithme LCS est utilisé ; utilisé pour vérifier le taux de plagiat du journal. L'algorithme LCS peut également être utilisé pour la mesure de similarité de code de programme, la récupération de séquences d'exécution humaine, la mise en correspondance de segments vidéo, etc., de sorte que la recherche sur l'algorithme LCS a une grande valeur d'application.
Sous-séquence : Une sous-séquence d'une séquence spécifique est le résultat de la suppression de zéro ou plusieurs éléments d'une séquence donnée (ne modifie pas l'ordre relatif des éléments ). Par exemple, les sous-séquences de la séquence
Sous-séquence commune : Étant donné les séquences X et Y, la séquence Z est une sous-séquence de X et une sous-séquence de Y, alors Z est la sous-séquence commune de la séquence X et Y. Par exemple, X=[A,B,C,B,D,A,B], Y=[B,D,C,A,B,A[, alors la séquence Z=[B,C,A] est XEtY Sous - séquence commune de , Sa longueur est 3. Mais Z n'est pas la plus longue sous-séquence commune de X et Y, et les séquences [B, C, B, A] et [B, D, A, B] sont également les plus longues sous-séquences communes de X et Y, avec une longueur de 4 , et X et Y n'ont pas de sous-suite commune de longueur supérieure ou égale à 5. Pour les sous-séquences communes de la séquence [A, B, C] et de la séquence [E, F, G], il n'existe que la séquence vide [].
Sous-séquence commune la plus longue : Étant donné les séquences X et Y, sélectionnez celle ou plusieurs ayant la plus longue longueur parmi toutes leurs sous-séquences communes.
Sous-chaîne : une nouvelle série formée en supprimant zéro ou plusieurs caractères du début, du dernier ou des deux d'une séquence. La différence est que les sous-séquences peuvent avoir des caractères coupés au milieu. Combien de sous-séquences y a-t-il dans la chaîne cnblogs ? Évidemment il y en a 27, comme cb, cgs, etc. sont toutes des sous-séquences
Donnez-moi une photo pour expliquer :
Nous pouvons voir que les sous-séquences ne sont pas nécessairement continues, les continues sont des sous-chaînes.
Nous commençons toujours l'analyse à partir d'une matrice et dérivons nous-mêmes l'équation de transition d'état.
Tout d'abord, nous convertissons le problème en un concept suffisamment familier au front-end. Au lieu de l'appeler en série, il peut être considéré comme un tableau ou une chaîne. Pour simplifier les choses, supposons simplement que deux chaînes soient comparées.
Nous nous concentrons sur le concept de "sous-séquence", qui peut en supprimer plusieurs ou zéro, ou la totalité. A ce moment notre première sous-séquence est une chaîne vide (si notre séquence n'est pas une chaîne, nous pouvons toujours le faire) ! C’est quelque chose auquel vous devez vraiment faire attention ! Beaucoup de gens ne peuvent tout simplement pas comprendre le tableau de « Introduction aux algorithmes », et il y a aussi de nombreux blogueurs qui ne prétendent pas comprendre. On compare toujours de gauche à droite, et bien sûr la première chaîne, car c'est la hauteur de la matrice, est placée verticalement.
| x | "" | B | D | C | A | B | A | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "" | |||||||||||||
| A | |||||||||||||
| B | |||||||||||||
| C | |||||||||||||
| D | |||||||||||||
| A | |||||||||||||
| B | |||||||||||||
Supposons que X ＝ "ABCDAB" et Y ="BDCABA", respectivement, suppriment la séquence la plus courte, c'est-à-dire comparent la chaîne vide avec la chaîne vide. La solution de l'équation LCS est un nombre, ce tableau ne peut donc être rempli que de nombres. La longueur de la zone commune de deux chaînes vides est 0.
| x | "" | B | D | C | A | B | A | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "" | 0 | ||||||||||||
| A | |||||||||||||
| B | |||||||||||||
| C | |||||||||||||
| D | |||||||||||||
| A | |||||||||||||
| B | |||||||||||||
Ensuite, nous ne déplaçons pas X et continuons à laisser apparaître la chaîne vide, et Y laisse apparaître « B ». Évidemment, la longueur de leurs zones communes est 0. Y est remplacé par d'autres caractères, D, C ou. , ils Combinaisons continues de DC et DDC, la situation n'a pas changé, c'est toujours 0. Par conséquent, la première ligne est 0. Ensuite, nous ne déplaçons pas Y, et Y ne produit que des chaînes vides, alors c'est la même chose que ci-dessus analyse, toutes valent 0, la première Les colonnes sont toutes 0.
| x | "" | B | D | C | A | B | A | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "" | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| A | 0 | ||||||||||||
| B | 0 | ||||||||||||
| C | 0 | ||||||||||||
| D | 0 | ||||||||||||
| A | 0 | ||||||||||||
| B | 0 | ||||||||||||
Le problème LCS est un peu différent du problème du sac à dos. Le problème du sac à dos peut également être défini sur -1 ligne, et le plus long. sous-séquence commune en raison de l'apparition de sous-séquences vides, la gauche est fixée en haut.
Ensuite, nous élargissons un peu le problème. Cette fois, les deux côtés produisent un caractère. Évidemment, ce n'est que lorsque les deux sont identiques qu'il peut y avoir une sous-séquence commune qui n'est pas une chaîne vide, et la longueur peut également. être compris comme 1.
Toute sous-séquence dans laquelle A est "X" et Y est "BDCA"
| x | "" | B | D | C | A | B | A | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "" | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| A | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||||||
| B | 0 | ||||||||||||
| C | 0 | ||||||||||||
| D | 0 | ||||||||||||
| A | 0 | ||||||||||||
| B | 0 | ||||||||||||
Continuez à remplir les espaces à droite. Comment remplir les espaces ? Évidemment, LCS ne peut pas être supérieur à la longueur de X. Comment la sous-séquence de Y partant de la chaîne A peut-elle être égale à 1 par rapport à la séquence A de B.
| x | "" | B | D | C | A | B | A | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "" | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| A | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| B | 0 | ||||||||||||
| C | 0 | ||||||||||||
| D | 0 | ||||||||||||
| A | 0 | ||||||||||||
| B | 0 | ||||||||||||
Si . Ensuite, regardons d'abord B, ${X_1} == ${Y_0}, nous obtenons une nouvelle sous-chaîne publique et nous devrions ajouter 1. Pourquoi? Parce que notre matrice est une table d'états, décrivant le processus de migration des états de gauche à droite et de haut en bas, et ces états sont accumulés en fonction des états existants . Ce que nous devons maintenant confirmer, c'est la relation entre la valeur de la grille que nous voulons remplir et les valeurs des grilles qui l'entourent et qui ont déjà été remplies. Pour l’instant, il y a trop peu d’informations et ce n’est qu’un point isolé. Il suffit de remplir 1.
| x | "" | B | D | C | A | B | A | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "" | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| A | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| B | 0 | 1 | |||||||||||
| C | 0 | ||||||||||||
| D | 0 | ||||||||||||
| A | 0 | ||||||||||||
| B | 0 | ||||||||||||
Ensuite, nous laissons Y avoir un D supplémentaire comme assistant, {"",A,B,AB} vs {"",B,D,BD}. Évidemment, continuez à remplir 1. Remplissez jusqu'au second. un de Y Avant B, c'est tout 1. Parce que lorsqu’il s’agit de BDCAB, ils ont une autre sous-séquence commune, AB.
| x | "" | B | D | C | A | B | A | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "" | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| A | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| B | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | |||||||
| C | 0 | ||||||||||||
| D | 0 | ||||||||||||
| A | 0 | ||||||||||||
| B | 0 | ||||||||||||
À ce stade, nous pouvons résumer quelques règles. Ensuite, nous vérifierons nos idées par des calculs et ajouterons de nouvelles règles ou contraintes pour les améliorer.
Y envoie tous les caractères, X fait toujours 2 caractères, après observation attentive, remplissez toujours 2.
Regardez les cinq lignes, envoyez plus X Si l’ensemble des sous-séquences de C et ABC est plus grand que l’ensemble des sous-séquences de AB, alors lui et l’ensemble des sous-séquences B de Y sont plus grands, même s’ils ne sont pas plus grands, ils ne peuvent pas être plus petits que les sous-séquences d’origine. Évidemment, le C nouvellement ajouté ne peut pas devenir une puissance de combat et n'est pas un caractère commun entre les deux, donc la valeur doit être égale à l'ensemble de sous-séquence de AB.
| × | "" | B | D | C | A | B | A | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "" | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| A | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| B | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | ||||||
| C | 0 | 1 | |||||||||||
| D | 0 | ||||||||||||
| A | 0 | ||||||||||||
| B | 0 | ||||||||||||
Et on peut être sûr que si les caractères à comparer entre les deux chaînes sont différents, alors la grille à remplir est liée au côté gauche ou supérieur, quel que soit le côté plus grand.
Si les caractères comparés sont les mêmes, ne vous inquiétez pas, il arrive que le C de X doive être comparé au C de Y, c'est-à-dire l'ensemble de sous-séquences de ABC {"",A, B,C,AB,BC, ABC} est comparé à l'ensemble de sous-séquences {"",B,D,C,BD,DC,BDC} de BDC, et les sous-chaînes communes obtenues sont "",B,D. À ce stade, la conclusion est toujours la même qu'avant. Lorsque les caractères sont égaux, la valeur de la grille correspondante est égale à la valeur des coins gauche, droit et supérieur gauche, et les côtés gauche, supérieur et supérieur gauche sont. toujours égal. Ces mystères nécessitent des connaissances mathématiques plus rigoureuses pour être démontrés.
假设有两个数组，A和B。A[i]为A的第i个元素，A(i)为由A的第一个元素到第i个元素所组成的前缀。m(i, j)为A(i)和B(j)的最长公共子序列长度。
由于算法本身的递推性质，其实只要证明，对于某个i和j：
m(i, j) = m(i-1, j-1) + 1 （当A[i] = B[j]时）
m(i, j) = max( m(i-1, j), m(i, j-1) ) （当A[i] != B[j]时）
第一个式子很好证明，即当A[i] = B[j]时。可以用反证，假设m(i, j) > m(i-1, j-1) + 1 （m(i, j)不可能小于m(i-1, j-1) + 1，原因很明显），那么可以推出m(i-1, j-1)不是最长的这一矛盾结果。
第二个有些trick。当A[i] != B[j]时，还是反证，假设m(i, j) > max( m(i-1, j), m(i, j-1) )。
由反证假设，可得m(i, j) > m(i-1, j)。这个可以推出A[i]一定在m(i, j)对应的LCS序列中（反证可得）。而由于A[i] != B[j]，故B[j]一定不在m(i, j)对应的LCS序列中。所以可推出m(i, j) = m(i, j-1)。这就推出了与反正假设矛盾的结果。
得证。</p>
<p> </p>
<p>Nous utilisons maintenant l'équation ci-dessous pour continuer à remplir le tableau. </p>
<p><img src="https://img.php.cn/upload/article/000/054/025/4261b59f87cbe8cff3afd0492985a179-3.png" alt="Une discussion détaillée de la plus longue sous-séquence commune en JavaScript" ></p>
<h2>Mise en œuvre du programme</h2>
<pre class="brush:php;toolbar:false">//by 司徒正美
function LCS(str1, str2){
var rows = str1.split("")
rows.unshift("")
var cols = str2.split("")
cols.unshift("")
var m = rows.length
var n = cols.length
var dp = []
for(var i = 0; i < m; i++){
dp[i] = []
for(var j = 0; j < n; j++){
if(i === 0 || j === 0){
dp[i][j] = 0
continue
}
if(rows[i] === cols[j]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 //对角＋1
}else{
dp[i][j] = Math.max( dp[i-1][j], dp[i][j-1]) //对左边，上边取最大
}
}
console.log(dp[i].join(""))//调试
}
return dp[i-1][j-1]
}
LCS peut être encore simplifié, simplement en déplaçant la position, éliminant ainsi le besoin de générer un nouveau tableau
//by司徒正美
function LCS(str1, str2){
var m = str1.length
var n = str2.length
var dp = [new Array(n+1).fill(0)] //第一行全是0
for(var i = 1; i <= m; i++){ //一共有m+1行
dp[i] = [0] //第一列全是0
for(var j = 1; j <= n; j++){//一共有n+1列
if(str1[i-1] === str2[j-1]){
//注意这里，str1的第一个字符是在第二列中，因此要减1，str2同理
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 //对角＋1
} else {
dp[i][j] = Math.max( dp[i-1][j], dp[i][j-1])
}
}
}
return dp[m][n];
}
Nous allons donner la fonction d'impression et voir d'abord comment en imprimer un. Nous commençons à regarder depuis le coin inférieur droit et terminons par la ligne supérieure. Par conséquent, la chaîne cible est construite dans l’ordre inverse. Afin d'éviter d'utiliser des quantités intermédiaires gênantes telles que stringBuffer, nous pouvons l'implémenter de manière récursive. Chaque fois que le programme est exécuté, une seule chaîne est renvoyée, sinon une chaîne vide est renvoyée, en utilisant printLCS(x,y,...) +. str[ i] sont ajoutés pour obtenir la chaîne dont nous avons besoin.
Écrivons une autre méthode pour vérifier si la chaîne que nous obtenons est une vraie chaîne LCS. En tant que personne qui travaille déjà, je ne peux pas écrire de code comme un étudiant à l'école et le mettre en ligne sans effectuer de tests unitaires sur lesquels d'autres peuvent intervenir.
//by 司徒正美，打印一个LCS
function printLCS(dp, str1, str2, i, j){
if (i == 0 || j == 0){
return "";
}
if( str1[i-1] == str2[j-1] ){
return printLCS(dp, str1, str2, i-1, j-1) + str1[i-1];
}else{
if (dp[i][j-1] > dp[i-1][j]){
return printLCS(dp, str1, str2, i, j-1);
}else{
return printLCS(dp, str1, str2, i-1, j);
}
}
}
//by司徒正美， 将目标字符串转换成正则，验证是否为之前两个字符串的LCS
function validateLCS(el, str1, str2){
var re = new RegExp( el.split("").join(".*") )
console.log(el, re.test(str1),re.test(str2))
return re.test(str1) && re.test(str2)
}
Utiliser :
function LCS(str1, str2){
var m = str1.length
var n = str2.length
//....略，自行补充
var s = printLCS(dp, str1, str2, m, n)
validateLCS(s, str1, str2)
return dp[m][n]
}
var c1 = LCS( "ABCBDAB","BDCABA");
console.log(c1) //4 BCBA、BCAB、BDAB
var c2 = LCS("13456778" , "357486782" );
console.log(c2) //5 34678
var c3 = LCS("ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA" ,"GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA" );
console.log(c3) //20 GTCGTCGGAAGCCGGCCGAA
L'idée est similaire à celle ci-dessus. Notons qu'il existe une valeur Math.max dans la méthode LCS. Celle-ci intègre en fait trois situations, donc trois chaînes peuvent être bifurquées. Notre méthode renverra un objet de collection es6 pour une suppression automatique. Puis à chaque fois le nouvel ensemble est utilisé pour fusionner les chaînes de l'ancien ensemble.
//by 司徒正美 打印所有LCS
function printAllLCS(dp, str1, str2, i, j){
if (i == 0 || j == 0){
return new Set([""])
}else if(str1[i-1] == str2[j-1]){
var newSet = new Set()
printAllLCS(dp, str1, str2, i-1, j-1).forEach(function(el){
newSet.add(el + str1[i-1])
})
return newSet
}else{
var set = new Set()
if (dp[i][j-1] >= dp[i-1][j]){
printAllLCS(dp, str1, str2, i, j-1).forEach(function(el){
set.add(el)
})
}
if (dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]){//必须用>=，不能简单一个else搞定
printAllLCS(dp, str1, str2, i-1, j).forEach(function(el){
set.add(el)
})
}
return set
}
}
Utilisation :
function LCS(str1, str2){
var m = str1.length
var n = str2.length
//....略，自行补充
var s = printAllLCS(dp, str1, str2, m, n)
console.log(s)
s.forEach(function(el){
validateLCS(el,str1, str2)
console.log("输出LCS",el)
})
return dp[m][n]
}
var c1 = LCS( "ABCBDAB","BDCABA");
console.log(c1) //4 BCBA、BCAB、BDAB
var c2 = LCS("13456778" , "357486782" );
console.log(c2) //5 34678
var c3 = LCS("ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA" ,"GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA" );
console.log(c3) //20 GTCGTCGGAAGCCGGCCGAA
Utilisation Tableau roulant :
function LCS(str1, str2){
var m = str1.length
var n = str2.length
var dp = [new Array(n+1).fill(0)],now = 1，row //第一行全是0
for(var i = 1; i <= m; i++){ //一共有2行
row = dp[now] = [0] //第一列全是0
for(var j = 1; j <= n; j++){//一共有n+1列
if(str1[i-1] === str2[j-1]){
//注意这里，str1的第一个字符是在第二列中，因此要减1，str2同理
dp[now][j] = dp[i-now][j-1] + 1 //对角＋1
} else {
dp[now][j] = Math.max( dp[i-now][j], dp[now][j-1])
}
}
now = 1- now; //1-1=>0;1-0=>1; 1-1=>0 ...
}
return row ? row[n]: 0
}
Une sous-séquence de str1 correspond à une sous-séquence de la séquence d'indice {1, 2, …, m}, par conséquent, str1 a un total de ${2^m}$ différentes sous-séquences (il en va de même pour str2, comme ${2^n}$), donc la complexité atteint un temps exponentiel étonnant (${2^m * 2^n}$).
//警告，字符串的长度一大就会爆栈
function LCS(str1, str2, a, b) {
if(a === void 0){
a = str1.length - 1
}
if(b === void 0){
b = str2.length - 1
}
if(a == -1 || b == -1){
return 0
}
if(str1[a] == str2[b]) {
return LCS(str1, str2, a-1, b-1)+1;
}
if(str1[a] != str2[b]) {
var x = LCS(str1, str2, a, b-1)
var y = LCS(str1, str2, a-1, b)
return x >= y ? x : y
}
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![[Web front-end] Démarrage rapide de Node.js](https://img.php.cn/upload/course/000/000/067/662b5d34ba7c0227.png)
