Arbres de régression d'écriture manuscrite à partir de zéro à l'aide de Python

Par souci de simplicité, la récursivité sera utilisée pour créer des nœuds d'arbre. Bien que la récursivité ne soit pas une implémentation parfaite, c'est la plus intuitive pour expliquer le principe.

Importez d'abord la bibliothèque

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Nous devons d'abord créer les données d'entraînement, nos données auront une variable indépendante (x) et une variable corrélée (y) et utiliser numpy pour ajouter du bruit gaussien aux valeurs corrélées, qui peuvent être exprimé mathématiquement comme

Voici le bruit. Le code est affiché ci-dessous.

def f(x):
mu, sigma = 0, 1.5
return -x**2 + x + 5 + np.random.normal(mu, sigma, 1)
num_points = 300
np.random.seed(1)

x = np.random.uniform(-2, 5, num_points)
y = np.array( [f(i) for i in x] )
plt.scatter(x, y, s = 5)

Arbre de régression

Dans l'arbre de régression, les données numériques sont prédites en créant un arbre de plusieurs nœuds. La figure ci-dessous montre un exemple de structure arborescente d'un arbre de régression, où chaque nœud a son seuil utilisé pour diviser les données.

Étant donné un ensemble de données, les valeurs d'entrée atteindront les nœuds feuilles via les spécifications correspondantes. Toutes les valeurs d'entrée atteignant le nœud M peuvent être représentées par des sous-ensembles de X. Mathématiquement, exprimons cette situation en termes d'une fonction qui donne 1 si une valeur d'entrée donnée atteint le nœud M et 0 sinon.

Trouvez le seuil qui divise les données : parcourez les données d'entraînement en sélectionnant 2 points consécutifs à chaque étape et en calculant leur moyenne. La moyenne calculée divise les données en deux seuils.

Considérons d’abord des seuils aléatoires pour démontrer une situation donnée.

threshold = 1.5
low = np.take(y, np.where(x < threshold))
high = np.take(y, np.where(x > threshold))
plt.scatter(x, y, s = 5, label = 'Data')
plt.plot([threshold]*2, [-16, 10], 'b--', label = 'Threshold line')
plt.plot([-2, threshold], [low.mean()]*2, 'r--', label = 'Left child prediction line')
plt.plot([threshold, 5], [high.mean()]*2, 'r--', label = 'Right child prediction line')
plt.plot([-2, 5], [y.mean()]*2, 'g--', label = 'Node prediction line')
plt.legend()

La ligne verticale bleue représente un seuil unique, que nous supposons être la moyenne de deux points quelconques et qui sera utilisée pour diviser les données ultérieurement.

Notre première prédiction pour ce problème est la moyenne (ligne horizontale verte) de toutes les données d'entraînement (axe y). Et les deux lignes rouges sont les prédictions des nœuds enfants à créer.

Évidemment, aucune de ces moyennes ne représente bien nos données, mais leurs différences sont également évidentes : la prédiction du nœud maître (ligne verte) obtient la moyenne de toutes les données d'entraînement, que nous divisons en 2 nœuds enfants, dont 2 nœuds enfants ont le leur. prédictions (ligne rouge). Par rapport à la ligne verte, ces deux nœuds enfants représentent mieux leurs données d'entraînement correspondantes. Un arbre de régression divisera continuellement les données en 2 parties - créant 2 nœuds enfants à partir de chaque nœud jusqu'à ce qu'une valeur d'arrêt donnée soit atteinte (qui correspond à la quantité minimale de données qu'un nœud peut avoir). Il arrête précocement le processus de construction de l’arbre, que nous appelons un arbre pré-élagué.

Pourquoi existe-t-il un mécanisme d'arrêt anticipé ? Si nous devions continuer à attribuer jusqu'à ce qu'un nœud n'ait qu'une seule valeur, cela crée un scénario de surajustement dans lequel chaque donnée d'entraînement ne peut que se prédire.

Remarque : une fois le modèle terminé, il n'utilisera pas le nœud racine ni aucun nœud intermédiaire pour prédire les valeurs ; il utilisera les feuilles de l'arbre de régression (qui sera le dernier nœud de l'arbre) pour prédire.

Pour obtenir le seuil qui représente le mieux les données de seuil données, nous utilisons la somme des carrés résiduelle. Cela peut être mathématiquement défini comme

Voyons comment fonctionne cette étape.

Maintenant que la valeur SSR du seuil est calculée, le seuil avec la valeur SSR minimale peut être adopté. Utilisez ce seuil pour diviser les données d'entraînement en deux (parties basse et haute), où la partie basse sera utilisée pour créer le nœud enfant gauche et la partie haute sera utilisée pour créer le nœud enfant droit.

def SSR(r, y): 
return np.sum( (r - y)**2 )

SSRs, thresholds = [], []
for i in range(len(x) - 1):
threshold = x[i:i+2].mean()

low = np.take(y, np.where(x < threshold))
high = np.take(y, np.where(x > threshold))

guess_low = low.mean()
guess_high = high.mean()

SSRs.append(SSR(low, guess_low) + SSR(high, guess_high))
thresholds.append(threshold)

print('Minimum residual is: {:.2f}'.format(min(SSRs)))
print('Corresponding threshold value is: {:.4f}'.format(thresholds[SSRs.index(min(SSRs))]))

在进入下一步之前，我将使用pandas创建一个df，并创建一个用于寻找最佳阈值的方法。所有这些步骤都可以在没有pandas的情况下完成，这里使用他是因为比较方便。

df = pd.DataFrame(zip(x, y.squeeze()), columns = ['x', 'y'])
def find_threshold(df, plot = False):
SSRs, thresholds = [], []
for i in range(len(df) - 1):
threshold = df.x[i:i+2].mean()
low = df[(df.x <= threshold)]
high = df[(df.x > threshold)]
guess_low = low.y.mean()
guess_high = high.y.mean()
SSRs.append(SSR(low.y.to_numpy(), guess_low) + SSR(high.y.to_numpy(), guess_high))
thresholds.append(threshold)

if plot:
plt.scatter(thresholds, SSRs, s = 3)
plt.show()

return thresholds[SSRs.index(min(SSRs))]

创建子节点

在将数据分成两个部分后就可以为低值和高值找到单独的阈值。需要注意的是这里要增加一个停止条件;因为对于每个节点，属于该节点的数据集中的点会变少，所以我们为每个节点定义了最小数据点数量。如果不这样做，每个节点将只使用一个训练值进行预测，会导致过拟合。

可以递归地创建节点，我们定义了一个名为TreeNode的类，它将存储节点应该存储的每一个值。使用这个类我们首先创建根，同时计算它的阈值和预测值。然后递归地创建它的子节点，其中每个子节点类都存储在父类的left或right属性中。

在下面的create_nodes方法中，首先将给定的df分成两部分。然后检查是否有足够的数据单独创建左右节点。如果(对于其中任何一个)有足够的数据点，我们计算阈值并使用它创建一个子节点，用这个新节点作为树再次调用create_nodes方法。

class TreeNode():
def __init__(self, threshold, pred):
self.threshold = threshold
self.pred = pred
self.left = None
self.right = None
def create_nodes(tree, df, stop):
low = df[df.x <= tree.threshold]
high = df[df.x > tree.threshold]

if len(low) > stop:
threshold = find_threshold(low)
tree.left = TreeNode(threshold, low.y.mean())
create_nodes(tree.left, low, stop)

if len(high) > stop:
threshold = find_threshold(high)
tree.right = TreeNode(threshold, high.y.mean())
create_nodes(tree.right, high, stop)

threshold = find_threshold(df)
tree = TreeNode(threshold, df.y.mean())
create_nodes(tree, df, 5)

这个方法在第一棵树上进行了修改，因为它不需要返回任何东西。虽然递归函数通常不是这样写的(不返回)，但因为不需要返回值，所以当没有激活if语句时，不做任何操作。

在完成后可以检查此树结构，查看它是否创建了一些可以拟合数据的节点。 这里将手动选择第一个节点及其对根阈值的预测。

plt.scatter(x, y, s = 0.5, label = 'Data')
plt.plot([tree.threshold]*2, [-16, 10], 'r--', 
label = 'Root threshold')
plt.plot([tree.right.threshold]*2, [-16, 10], 'g--', 
label = 'Right node threshold')
plt.plot([tree.threshold, tree.right.threshold], 
[tree.right.left.pred]*2,
'g', label = 'Right node prediction')
plt.plot([tree.left.threshold]*2, [-16, 10], 'm--', 
label = 'Left node threshold')
plt.plot([tree.left.threshold, tree.threshold], 
[tree.left.right.pred]*2,
'm', label = 'Left node prediction')
plt.plot([tree.left.left.threshold]*2, [-16, 10], 'k--',
label = 'Second Left node threshold')
plt.legend()

这里看到了两个预测:

• 第一个左节点对高值的预测(高于其阈值)
• 第一个右节点对低值(低于其阈值)的预测

这里我手动剪切了预测线的宽度，因为如果给定的x值达到了这些节点中的任何一个，则将以属于该节点的所有x值的平均值表示，这也意味着没有其他x值参与 在该节点的预测中（希望有意义）。

这种树形结构远不止两个节点那么简单，所以我们可以通过如下调用它的子节点来检查一个特定的叶子节点。

tree.left.right.left.left

这当然意味着这里有一个向下4个子结点长的分支，但它可以在树的另一个分支上深入得多。

预测

我们可以创建一个预测方法来预测任何给定的值。

def predict(x):
curr_node = tree
result = None
while True:
if x <= curr_node.threshold:
if curr_node.left: curr_node = curr_node.left
else: 
break
elif x > curr_node.threshold:
if curr_node.right: curr_node = curr_node.right
else: 
break

return curr_node.pred

预测方法做的是沿着树向下，通过比较我们的输入和每个叶子的阈值。如果输入值大于阈值，则转到右叶，如果小于阈值，则转到左叶，以此类推，直到到达任何底部叶子节点。然后使用该节点自身的预测值进行预测，并与其阈值进行最后的比较。

使用x = 3进行测试(在创建数据时，可以使用上面所写的函数计算实际值。-3**2+3+5 = -1，这是期望值)，我们得到:

predict(3)
# -1.23741

计算误差

这里用相对平方误差验证数据

def RSE(y, g): 
return sum(np.square(y - g)) / sum(np.square(y - 1 / len(y)*sum(y)))
x_val = np.random.uniform(-2, 5, 50)
y_val = np.array( [f(i) for i in x_val] ).squeeze()
tr_preds = np.array( [predict(i) for i in df.x] )
val_preds = np.array( [predict(i) for i in x_val] )
print('Training error: {:.4f}'.format(RSE(df.y, tr_preds)))
print('Validation error: {:.4f}'.format(RSE(y_val, val_preds)))

可以看到误差并不大，结果如下

概括的步骤

更深入的模型

一个更适合回归树模型的数据：因为我们的数据是多项式生成的数据，所以使用多项式回归模型可以更好地拟合。我们更换一下训练数据，把新函数设为

def f(x):
mu, sigma = 0, 0.5
if x < 3: return 1 + np.random.normal(mu, sigma, 1)
elif x >= 3 and x < 6: return 9 + np.random.normal(mu, sigma, 1)
elif x >= 6: return 5 + np.random.normal(mu, sigma, 1)

np.random.seed(1)

x = np.random.uniform(0, 10, num_points)
y = np.array( [f(i) for i in x] )
plt.scatter(x, y, s = 5)

在此数据集上运行了上面的所有相同过程，结果如下

比我们从多项式数据中获得的误差低。

最后共享一下上面动图的代码：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
#===================================================Create Data
def f(x):
mu, sigma = 0, 1.5
return -x**2 + x + 5 + np.random.normal(mu, sigma, 1)
np.random.seed(1)

x = np.random.uniform(-2, 5, 300)
y = np.array( [f(i) for i in x] )
p = x.argsort()
x = x[p]
y = y[p]
#===================================================Calculate Thresholds
def SSR(r, y): #send numpy array
return np.sum( (r - y)**2 )
SSRs, thresholds = [], []
for i in range(len(x) - 1):
threshold = x[i:i+2].mean()

low = np.take(y, np.where(x < threshold))
high = np.take(y, np.where(x > threshold))

guess_low = low.mean()
guess_high = high.mean()

SSRs.append(SSR(low, guess_low) + SSR(high, guess_high))
thresholds.append(threshold)
#===================================================Animated Plot
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2,1, sharex = True)
x_data, y_data = [], []
x_data2, y_data2 = [], []
ln, = ax1.plot([], [], 'r--')
ln2, = ax2.plot(thresholds, SSRs, 'ro', markersize = 2)
line = [ln, ln2]
def init():
ax1.scatter(x, y, s = 3)
ax1.title.set_text('Trying Different Thresholds')
ax2.title.set_text('Threshold vs SSR')
ax1.set_ylabel('y values')
ax2.set_xlabel('Threshold')
ax2.set_ylabel('SSR')
return line
def update(frame):
x_data = [x[frame:frame+2].mean()] * 2
y_data = [min(y), max(y)]
line[0].set_data(x_data, y_data)
x_data2.append(thresholds[frame])
y_data2.append(SSRs[frame])
line[1].set_data(x_data2, y_data2)
return line
ani = FuncAnimation(fig, update, frames = 298,
init_func = init, blit = True)
plt.show()

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