Comment implémenter la transformation Halbert en utilisant Python ?

1. Qu'est-ce que la transformée de Hilbert ?

La transformée de Hilbert n'a été initialement définie que pour les fonctions périodiques (c'est-à-dire les fonctions sur un cercle). Plus communément, cependant, pour les fonctions définies sur la droite réelle R (la limite du demi-plan supérieur), la transformée de Hilbert est convoluée avec un noyau de Cauchy. La transformée de Hilbert est étroitement liée au théorème de Parley-Wiener, qui est une autre méthode qui relie la fonction holomorphe dans le demi-plan supérieur à la transformée de Fourier de la fonction sur la ligne réelle.

2. Principes d'implémentation et exemples de code dans VC

La transformation de Hilbert peut être implémentée dans VC via la transformation de Fourier rapide (FFT).

Ce qui suit est un code C++ simple pour implémenter la transformation Hilbert, qui nécessite l'utilisation de la bibliothèque standard de C++11 et supérieur. Nous devons d’abord implémenter une fonction FFT, puis utiliser la fonction FFT pour implémenter la transformation de Hilbert.

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <vector>

using namespace std;

typedef complex<double> Complex;
typedef vector<Complex> ComplexVector;

// 快速傅里叶变换
void fft(ComplexVector& data) {
    int n = data.size();
    if (n <= 1) {
        return;
    }

    // 分离偶数项和奇数项
    ComplexVector even(n/2), odd(n/2);
    for (int i = 0; i < n; i += 2) {
        even[i/2] = data[i];
        odd[i/2] = data[i+1];
    }

    // 递归计算偶数项和奇数项的FFT
    fft(even);
    fft(odd);

    // 计算每个k点的DFT
    for (int k = 0; k < n/2; k++) {
        Complex t = polar(1.0, -2 * M_PI * k / n) * odd[k];
        data[k] = even[k] + t;
        data[k+n/2] = even[k] - t;
    }
}


// 希尔伯特变换
void hilbertTransform(ComplexVector& signal) {
    int n = signal.size();

    // 扩展信号长度至2的幂次方
    int n2 = 1;
    while (n2 < n) {
        n2 *= 2;
    }
    signal.resize(n2);

    // 进行FFT变换
    fft(signal);

    // 对FFT结果进行处理
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        signal[i] *= 2;
    }
    for (int i = n; i < n2; i++) {
        signal[i] = 0;
    }
    signal[0] = 1;
    signal[n] = 0;

    // 反向FFT变换
    fft(signal);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        signal[i] = signal[i].imag() / n;
    }
}

int main() {
    ComplexVector signal = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
    hilbertTransform(signal);

    // 输出结果
    for (int i = 0; i < signal.size(); i++) {
        cout << signal[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

Dans le code ci-dessus, nous implémentons d'abord une fonction de transformation de Fourier rapide fft, puis utilisons FFT dans la fonction hilbertTransform pour calculer la transformée de Hilbert. Dans le processus de calcul de la transformée de Hilbert, nous avons d'abord prolongé la longueur du signal, puis effectué la transformation FFT, puis traité les résultats FFT selon la formule de la transformée de Hilbert, et enfin effectué la transformation FFT inverse pour obtenir le Hilbert final. transformer le résultat.

Dans le code ci-dessus, nous utilisons le type complexe et le type vectoriel pour traiter facilement les signaux et les résultats FFT. Dans des applications pratiques, nous pouvons lire le signal d'entrée à partir d'un fichier ou l'obtenir à partir de données collectées en temps réel, puis appeler la fonction hilbertTransform pour effectuer une transformation de Hilbert afin d'obtenir le signal transformé.

3. Utilisez le code Python pour implémenter

La transformation Hilbert peut également être facilement implémentée à l'aide de Python. Voici un exemple de code qui utilise la bibliothèque numpy pour implémenter la transformation de Hilbert :

import numpy as np

def hilbert_transform(signal):
    """
    计算希尔伯特变换
    """
    n = len(signal)

    # 扩展信号长度至2的幂次方
    n2 = 1
    while n2 < n:
        n2 *= 2
    signal = np.append(signal, np.zeros(n2 - n))

    # 进行FFT变换
    spectrum = np.fft.fft(signal)

    # 对FFT结果进行处理
    spectrum[1:n] *= 2
    spectrum[n:] = 0
    spectrum[0] = 1
    spectrum[n] = 0

    # 反向FFT变换
    hilbert = np.real(np.fft.ifft(spectrum))
    hilbert = hilbert[:n]

    return hilbert

if __name__ == "__main__":
    signal = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
    hilbert = hilbert_transform(signal)

    # 输出结果
    print(hilbert)

Dans le code ci-dessus, nous étendons d'abord le signal d'entrée à la longueur de puissance de 2, puis utilisons la fonction numpy.fft.fft pour effectuer la transformation FFT. Les résultats FFT sont traités, et enfin la fonction numpy.fft.ifft est utilisée pour effectuer la transformation FFT inverse pour obtenir le résultat de la transformation de Hilbert.

Il convient de noter que puisque les résultats renvoyés par la fonction numpy.fft.fft sont classés de petit à grand en fonction de la fréquence de la transformation FFT et que la transformation de Hilbert est effectuée dans le domaine temporel, nous devons comparer les Résultats FFT Certains traitements sont nécessaires pour obtenir le résultat correct de la transformation de Hilbert. Dans le code ci-dessus, nous effectuons une série de traitements sur les résultats FFT, notamment en multipliant l'amplitude de la partie de fréquence non nulle par 2, en réglant les fréquences en dehors de la partie de fréquence non nulle à zéro et en modifiant les valeurs de la composante continue et la composante de fréquence de Nyquist respectivement réglées sur 1 et 0 pour obtenir le résultat correct de la transformation de Hilbert.

Ce qui précède est le contenu détaillé de. pour plus d'informations, suivez d'autres articles connexes sur le site Web de PHP en chinois!