Algorithme de fermeture transitive comparant les algorithmes ascendants et descendants

Comparaison des algorithmes de fermeture transitive : algorithme ascendant vs algorithme descendant

Introduction :
L'algorithme de fermeture transitive est un algorithme couramment utilisé en théorie des graphes, que l'on retrouve dans les graphes orientés ou non. Fermeture transitive des graphes . Dans cet article, nous comparerons deux méthodes d'implémentation courantes de l'algorithme de fermeture transitive : l'algorithme ascendant et l'algorithme descendant, et donnerons des exemples de code spécifiques.

1. Algorithme bottom-up :
L'algorithme bottom-up est une méthode d'implémentation de l'algorithme de fermeture transitive. Il construit la fermeture transitive du graphe en calculant tous les chemins possibles dans le graphe. Les étapes de l'algorithme sont les suivantes :

1. Initialisez la matrice de fermeture transitive TransitiveClosure et définissez-la comme matrice de contiguïté du graphique.
2. Pour chaque sommet v, définissez TransitiveClosurev sur 1, indiquant que le sommet lui-même est accessible.
3. Pour chaque paire de sommets (u, v), s'il y a une arête de u à v, définissez TransitiveClosureu sur 1.
4. Pour chaque paire de sommets (u,v) et pour tous les autres sommets w, si TransitiveClosureu et TransitiveClosurew valent 1, définissez TransitiveClosureu sur 1.
5. La boucle répète l'étape 4 jusqu'à ce que la matrice de fermeture passée ne change plus.

Ce qui suit est un exemple de code spécifique de l'algorithme ascendant, prenant la matrice de contiguïté Graph et la matrice de fermeture transitive TransitiveClosure en entrée :

def transitive_closure(Graph, TransitiveClosure):
    num_vertices = len(Graph)

    for v in range(num_vertices):
        TransitiveClosure[v][v] = 1

    for u in range(num_vertices):
        for v in range(num_vertices):
            if Graph[u][v]:
                TransitiveClosure[u][v] = 1

    for w in range(num_vertices):
        for u in range(num_vertices):
            for v in range(num_vertices):
                if TransitiveClosure[u][w] and TransitiveClosure[w][v]:
                    TransitiveClosure[u][v] = 1

    return TransitiveClosure

2. Algorithme descendant :
L'algorithme descendant est également un algorithme de fermeture transitive Une méthode d'implémentation consiste à construire la fermeture transitive du graphe en calculant récursivement l'accessibilité de chaque paire de sommets. Les étapes de l'algorithme sont les suivantes :

1. Initialisez la matrice de fermeture transitive TransitiveClosure et définissez-la comme matrice de contiguïté du graphique.
2. Pour chaque paire de sommets (u, v), s'il y a une arête de u à v, définissez TransitiveClosureu sur 1.
3. Pour chaque paire de sommets (u,v) et pour tous les autres sommets w, si TransitiveClosureu et TransitiveClosurew valent 1, définissez TransitiveClosureu sur 1.
4. La boucle répète l'étape 3 jusqu'à ce que la matrice de fermeture passée ne change plus.

Ce qui suit est un exemple de code spécifique de l'algorithme descendant, prenant la matrice de contiguïté Graph et la matrice de fermeture transitive TransitiveClosure en entrée :

def transitive_closure(Graph, TransitiveClosure):
    num_vertices = len(Graph)

    for u in range(num_vertices):
        for v in range(num_vertices):
            if Graph[u][v]:
                TransitiveClosure[u][v] = 1

    for w in range(num_vertices):
        for u in range(num_vertices):
            for v in range(num_vertices):
                if TransitiveClosure[u][w] and TransitiveClosure[w][v]:
                    TransitiveClosure[u][v] = 1

    return TransitiveClosure

3. Analyse comparative :

1. Complexité temporelle : algorithme ascendant et algorithme descendant La complexité temporelle de l'algorithme descendant est O(V^3), où V représente le nombre de sommets.
2. Complexité spatiale : la complexité spatiale de l'algorithme ascendant et de l'algorithme descendant est O(V^2).
3. Application pratique : l'algorithme ascendant convient aux petits graphiques, tandis que l'algorithme descendant convient aux grands graphiques. L'algorithme ascendant doit stocker toutes les matrices de contiguïté pendant le calcul, tandis que l'algorithme descendant peut utiliser la récursivité pour segmenter le graphique.
4. Efficacité de l'algorithme : l'algorithme ascendant doit copier la matrice de contiguïté dans la matrice de fermeture transitive au stade initial, tandis que l'algorithme descendant calcule directement sur la matrice de contiguïté, donc l'efficacité de l'algorithme descendant dans le le stade initial est plus élevé.

Conclusion :
Les deux méthodes de mise en œuvre de l'algorithme de fermeture transitive, l'algorithme ascendant et l'algorithme descendant, sont fondamentalement les mêmes en termes de complexité temporelle et de complexité spatiale, mais il existe des différences dans les applications pratiques et l'efficacité. dans la phase initiale. Choisissez la méthode de mise en œuvre appropriée en fonction des exigences spécifiques et de la taille du graphique pour obtenir une meilleure efficacité opérationnelle et de meilleures performances.

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