La formule générale d'une séquence du second ordre

La séquence du second ordre de la formule générale de la séquence

Selon le concept de séquence récursive de premier ordre, nous pouvons définir une expression récursive qui contient simultanément an+2, an+1 et an comme séquence de second ordre. Par rapport à la séquence du premier ordre, la formule générale du terme de la séquence du second ordre est plus compliquée. Afin de faciliter la transformation, expliquons d'abord la forme simple de la séquence du second ordre :

an+2 = A * an+1 +B * an , (De même, A et B sont des coefficients constants) L'idée de base est similaire au premier ordre, mais lors de la composition, faites attention aux coefficients indéterminés et aux termes correspondants

Composition de la formule originale : Que la formule originale soit transformée sous cette forme an+2 - ψ * an+1 = ω (an+1 - ψ * an)

Comparez cette formule avec la formule originale, nous pouvons obtenir

ψ + ω = A et -(ψ*ω) = B

En résolvant ces deux équations, on peut obtenir les valeurs de ψ et ω,

Soit bn = an+1 - ψ*an, la formule originale devient bn+1 = ω *bn séquence géométrique, et la formule générale de bn peut être obtenue bn= f (n),

Grâce à l'équation donnée an+1 - ψ*an = f(n), nous pouvons observer que cette formule est en fait la définition d'une séquence de premier ordre. Cette formule n'implique que deux variables de séquence, an+1 et an, elle peut donc être considérée comme une « réduction d'ordre », convertissant une séquence du second ordre en une séquence du premier ordre pour résoudre le problème.

Le terme général de la formule de récursion quadratique du second ordre d'une certaine séquence est connu

A(n+1)=A(n)+A(n-1)-2A(n)*A(n-1)

Déformé en 1-A(n+1)=(1-An)(1-A(n-1))

Soit Bn=1-An, obtenez

B(n+1)=Bn*B(n-1)

S'il peut être garanti que Bn>0, alors vous pouvez prendre le logarithme des deux côtés pour obtenir lgB(n+1)=lgBn+lgB(n-1)

Alors soit Cn=lgB(n+1), alors Cn devient la séquence de Fibonacci, ce qui suit est omis

Si Bn>0 ne peut pas être garanti, observez B3=B2B1

B4=(B2)^2*B1

B5=(B2)^3*(B1)^2

B6=(B2)^5*(B1)^3

Notez que Bn=(B2)^x*(B1)^y

Évidemment, x et y sont tous deux des nombres de Fibonacci, ce qui suit est omis

(Pour la séquence de Fibonacci, vous pouvez effectuer une recherche en ligne. Ses termes généraux sont plus compliqués et ne sont pas écrits ici)

Veuillez noter que le résultat obtenu en utilisant la méthode ci-dessus peut être Cn ou Bn, et vous devez convertir An=1-Bn à la fin. Ne l'oubliez pas

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Comment dériver la formule du terme général à partir de la formule de récursion du second ordre ?

a(n+1)+pan+qa(n-1)=0

Supposons que a(n+1)+xan=y[an+xa(n-1)]

a(n+1)+(x-y)an-xya(n-1)=0

x-y=p

xy=-q

x1=p+√（p^2-4q）,y1=√（p^2-4q）,

x2=p-√（p^2-4q）,y2=-√（p^2-4q）,

a(n+1)+x1an=y1[an+x1a(n-1)]

a(n+1)+x2an=y2[an+x2a(n-1)]

Divisez les deux équations :

[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=(y1/y2){[an+x1a(n-1)]/[an+x2a(n-1)] }

Supposons que bn=[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]

bn=(y1/y2)b(n-1)=-b(n-1)

bn=b1(-1)^(n-1),b1=[a2+x1a1]/[a2+x2a1]

[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=b1(-1)^(n-1)

a(n+1)+x1an=b1[a(n+1)+x2an](-1)^(n-1)

=[b1(-1)^(n-1)]a(n+1)+[b1(-1)^(n-1)]x2an

[1-b1(-1)^(n-1)]a(n+1)={[b1(-1)^(n-1)]x2-x1}an

[1-b1(-1)^(n-2)]an={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}a(n-1)

[1-b1(-1)^(n-3)]a(n-1)={[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}a(n-2)

……

[1-b1(-1)^2]a4={[b1(-1)^2]x2-x1}a3

[1-b1(-1)^1]a3={[b1(-1)^1]x2-x1}a2

[1-b1(-1)^0]a2={[b1(-1)^0]x2-x1}a1

Multipliez les deux côtés :

[1-b1(-1)^(n-2)][1-b1(-1)^(n-3)]……[1-b1(-1)^2][1-b1(- 1)^1][1-b1(-1)^0]un

={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}{[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}……{[b1(-1)^2] x2-x1}{[b1(-1)^1]x2-x1}{[b1(-1)^0]x2-x1}a1

Les coefficients des deux côtés sont connus, et an est exclu (tant que a1 est fourni).

Si p et q sont des nombres spécifiques, les deux côtés peuvent être simplifiés.

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