Explication détaillée d'un problème intégral défini sur les fonctions trigonométriques inverses

Une question sur l'intégrale définie des fonctions trigonométriques inverses est gênante avec le processus détaillé

∫ (arcsinx)² dx

= x(arcsinx)² - ∫ x d(arcsinx)²

= x(arcsinx)² - ∫ x • 2(arcsinx) • 1/√(1 - x²) • dx

= x(arcsinx)² - 2∫ x(arcsinx)/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² - 2∫ arcsinx d[-√(1 - x²)]

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²)/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2x + C

C'est une intégrale indéfinie

Remplacez les points fixes et le tour est joué

La fonction originale de la fonction trigonométrique inverse

En utilisant l'intégration par parties, on obtient :

I = ∫ arcsinx dx = x arcsinx - ∫ [x/√(1-x^2)] dx

= x arcsinx + (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arcsinx + √（1-x^2） +C

I = ∫ arccosx dx = x arccosx + ∫ [x/√（1-x^2）] dx

= x arccosx - (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arccosx - √（1-x^2） +C

I = ∫ arctanx dx = x arctanx - ∫ [x/(1+x^2)] dx

= x arctanx - (1/2) ∫ [1/(1+x^2)] d(1+x^2) = x arctanx - (1/2)ln(1+x^2) +C

C'est le nom collectif de l'arc sinus arcsin, cotangente inverse, sécante inverse, cosécante inverse est l'angle de x.

Informations détaillées :

Il est préférable que la fonction soit continue dans cet intervalle (la raison pour laquelle on dit qu'elle est la meilleure ici est que les fonctions sécantes inverses et cosécantes inverses sont pointues afin de faciliter la recherche, il est souvent nécessaire de choisir la fonction) ; intervalle de 0 à π/2 corne.

Le domaine de valeur de la fonction sur l'intervalle déterminé doit être le même que le domaine de la fonction entière. La fonction trigonométrique inverse déterminée de cette manière est à valeur unique Afin de la distinguer de la fonction trigonométrique inverse à valeurs multiples ci-dessus, le A dans Arc est souvent remplacé par une notation in. Par exemple, la fonction sinus inverse à valeur unique. est enregistré comme arcsin x.

Pour limiter la fonction trigonométrique inverse à une fonction à valeur unique, limitez la valeur y de la fonction sinus inverse à -π/2≤y≤π/2 et utilisez y comme valeur principale de la fonction sinus inverse, enregistrée sous la forme y=arcsin x ; par conséquent, la valeur principale de la fonction cosinus inverse y=arccos x est limitée à 0≤y≤π ; la valeur principale de la fonction arctangente y=arctan x est limitée à -π/2

Source de référence : Encyclopédie - Fonctions trigonométriques inverses

Comment prouver l'intégrale indéfinie de la fonction trigonométrique inverse

. Si l'intervalle intégral est symétrique, vérifiez d'abord s'il y a une fonction impaire dans la formule. Par exemple, le développement carré de cette question est : 1+2x(1-x^2)^1/2. (1-x^2)^1 /2 est une fonction impaire, donc son intégrale dans l'intervalle symétrique est 0, ne laissant que "1", donc le résultat est 2

2. Lorsque arctan, ln et autres apparaissent, vous devez trouver un moyen d'en faire des dérivés, x*arctanx. Si vous souhaitez créer un dérivé d'arctanx, vous devez utiliser des intégrales par parties :

.

Mettez x à la fin, la formule intégrale d'origine devient : 1/2arctanx d(x^2), la formule intégrale de la seconde moitié de l'intégrale par parties est (x^2)/(1+x^2), ça devrait marcher C'est accumulé, la clé c'est de savoir guider arctan

Le résultat de cette question est : 1/2(x^2*arctanx - x + arctanx + C)

Tant que vous poserez plus de questions ici, vous comprendrez l'idée. La vraie difficulté réside dans les multiples intégrales et intégrales de courbe de surface à la fin, qui peuvent être considérées comme anormales

Dérivation de la formule intégrale par parties

La formule intégrale par parties est une formule très importante. Grâce à elle, vous pouvez utiliser la formule pour résoudre rapidement certains problèmes intégraux. Dans le même temps, la réponse peut également être résolue lorsque certaines fonctions intégrandes ne peuvent pas trouver directement la fonction d'origine.

Informations détaillées :

1. La méthode intégrale par parties est une méthode importante et fondamentale pour calculer les intégrales en calcul.

2. Il est dérivé de la règle de multiplication du calcul différentiel et du théorème fondamental du calcul. Son principe principal est de transformer la forme intégrale qui n'est pas facile à produire des résultats directs en une forme intégrale équivalente qui est facile à produire des résultats.

3. Selon les types de fonctions de base qui composent l'intégrande, l'ordre des intégrales couramment utilisées par parties est organisé en une formule : « L'opposition au pouvoir fait référence à trois ». Elles font respectivement référence à cinq types de fonctions de base : les fonctions trigonométriques inverses, les fonctions logarithmiques, les fonctions puissance, les fonctions exponentielles et les intégrales de fonctions trigonométriques.

4. Formule (1) d'intégrale indéfinie, ∫ a dx = ax + C, a et C sont tous deux des constantes

(2), ∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C, où a est une constante et a ≠ -1

(3), ∫ 1/x dx = ln|x| +

(4), ∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C, où a > 0 et a ≠

(5), ∫ e^x dx = e^x + C

(6), ∫ cosx dx = sinx +

(7), ∫ sinx dx = - cosx + C

(8), ∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

5. Méthode d'intégrale indéfinie :

Le premier type de substitution est en fait une sorte de patchwork, utilisant f'(x)dx=df(x); et le reste des précédents ne sont que des fonctions sur f(x), puis traitent f(x) comme a L'ensemble, le résultat final.

Intégraux par parties, il n'existe que quelques types fixes, qui ne sont rien de plus que des fonctions trigonométriques multipliées par x, ou des fonctions exponentielles ou des fonctions logarithmiques multipliées par un x. La méthode de mémoire consiste à utiliser le f' (mentionné ci-dessus Transformer x). dx=df(x), puis utilisez la formule ∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx Bien sûr, x peut être remplacé par un autre g(x).

Référence : Encyclopédie : Méthode d'intégration par parties

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