


Un relais qui s'étend sur plus de 300 ans : Inspirés par Terence Teru, des mathématiciens ont décidé d'utiliser l'IA pour formaliser la preuve du dernier théorème de Fermat.
Inspirés par Terence Tao, de plus en plus de mathématiciens commencent à essayer d'utiliser l'intelligence artificielle pour l'exploration mathématique. Cette fois, leur objectif est le dernier théorème de Fermat, l'un des dix problèmes mathématiques les plus difficiles au monde. Le dernier théorème de Fermat est un problème mathématique très complexe pour lequel aucune solution réalisable n'a été trouvée jusqu'à présent. Les mathématiciens espèrent qu'avec la puissante puissance de calcul et les algorithmes intelligents de l'intelligence artificielle, ils pourront explorer en mathématiques
Le dernier théorème de Fermat, également connu sous le nom de « dernier théorème de Fermat (FLT) », a été inventé au XVIIe siècle. Proposé par les Français le mathématicien Pierre de Fermat. Il y a une histoire légendaire derrière cela. On raconte que vers 1637, alors que Fermat lisait la traduction latine de l'Arithmétique de Diophante, il écrivit à côté de la proposition 8 du tome 11 : « Divisez un nombre cubique par la somme de deux nombres cubes, ou Il est impossible de diviser un quatrième puissance en somme de deux puissances quatrièmes, ou généralement une puissance supérieure à la puissance seconde en somme de deux puissances de même puissance. "Je suis convaincu d'avoir découvert quelque chose à ce sujet. C'est une démonstration merveilleuse, mais malheureusement la. l'espace vide ici est trop petit pour l'écrire. "
Ce qui est indiqué dans ce paragraphe est le contenu du dernier théorème de Fermat : lorsque l'entier n>2, l'équation sur x^n + y^n=z^n n'a pas de solution entière positive.
Fei Ma a dit qu'il savait comment le prouver, mais il ne l'a pas écrit parce que l'espace vide dans le livre était trop petit. Il y a eu plus tard une controverse sur l'authenticité de l'histoire et sur la question de savoir si Fermat avait vraiment compris la méthode de preuve. Depuis plus de 300 ans, les mathématiciens ont travaillé dur pour prouver le dernier théorème de Fermat. Ce n'est qu'en 1995 que le professeur Andrew Wiles de l'université de Princeton aux États-Unis a finalement achevé la preuve en 130 pages.
Maintenant que le dernier théorème de Fermat a été prouvé, que peuvent faire d'autre les mathématiciens avec l'IA ? La réponse est : formaliser sa preuve
Dans un blog, il a présenté le contexte, la motivation et les méthodes spécifiques pour y parvenir.
Pourquoi formaliser la preuve du dernier théorème de Fermat ?
La forme du dernier théorème de Fermat est très simple et intuitive, mais sa démonstration est extrêmement difficile. C’est sans aucun doute une excellente démonstration de la profonde beauté des mathématiques. Au cours des derniers siècles, afin de résoudre ce problème, les mathématiciens ont développé et innové un grand nombre de théories mathématiques, qui ont des applications dans des domaines allant de la cryptographie à la physique.
Andrew Wiles a peut-être été inspiré par FLT, mais ses travaux ont en fait conduit à une percée dans le projet Langlands, une série d'idées mathématiques de grande envergure qui liaient la théorie des nombres, la géométrie algébrique et la théorie de la représentation de groupe réduite, et qui continueront à le faire. attirer beaucoup d’attention en 2024. Historiquement, plusieurs autres avancées majeures dans la théorie algébrique des nombres (telles que la théorie de la factorisation dans les champs numériques et l'arithmétique dans les champs cycliques) ont été au moins en partie motivées par le désir d'une compréhension plus approfondie de la FLT.Le travail de Wiles, complété par son élève Richard Taylor, s'appuie sur une vaste base de mathématiques du 20e siècle. La technique de base introduite par Wiles - le « théorème de levage de modularité » - a été conceptuellement considérablement simplifiée et largement généralisée au cours des 30 années qui ont suivi la publication de l'article original. Ce domaine est encore très actif aujourd’hui. Article de Frank Calegari au Congrès international des mathématiciens 2022, décrivant les progrès réalisés depuis la percée de Wiles (voir : https://arxiv.org/abs/2109.14145). Kevin Buzzard a déclaré que la poursuite de son activité dans ce domaine était l'une de ses motivations pour formaliser la preuve FLT.
Formalisation des mathématiques, l'art de convertir les mathématiques sur papier en un langage de programmation informatique capable de comprendre des théorèmes et de prouver des concepts. Ces langages de programmation, également connus sous le nom de prouveurs de théorèmes interactifs (ITP), existent depuis des décennies. Ces dernières années, ce domaine semble toutefois avoir attiré l’attention de la communauté mathématique. Nous avons assisté à plusieurs exemples de formalisation de la recherche en mathématiques, le dernier en date étant la formalisation de la preuve de la conjecture polynomiale de Freiman-Ruzsa par Terence Tao et d'autres. Cet article révolutionnaire de 2023 a été formalisé en Lean en seulement trois semaines. De telles réussites pourraient amener les observateurs à penser que les ITP comme Lean sont désormais prêts à formaliser toutes les mathématiques modernes.
Cependant, la vérité est loin d’être aussi simple. Dans certains domaines des mathématiques, comme la combinatoire, nous pouvons voir certaines avancées modernes se formaliser en temps réel. Cependant, Buzzard a déclaré qu'il assistait régulièrement à des séminaires de théorie des nombres à Londres et remarquait souvent que les connaissances de Lean sur les définitions mathématiques modernes étaient insuffisantes pour formuler les résultats annoncés lors des séminaires, et encore moins pour vérifier leurs preuves.
En fait, le « décalage » dans cet aspect de la théorie des nombres était l'une des principales motivations de Buzzard pour lancer la formalisation de la preuve contemporaine de FLT. À la fin du projet, Lean sera capable de comprendre les formes et représentations automorphes (une classe spéciale de fonctions de variables complexes), les représentations de Galois, l'automorphisme latent, les théorèmes de promotion de la modularité, l'arithmétique des variétés algébriques, la théorie des champs de classes, les théorèmes des duaux arithmétiques. , variétés Shimura et autres concepts utilisés dans la théorie algébrique moderne des nombres. Selon Buzzard, une fois ces fondations en place, formaliser ce qui se passe dans son propre domaine d'expertise ne relèvera plus de la science-fiction.
Alors, pourquoi fais-tu ça ? Buzzard explique : "Si l'on en croit certains informaticiens, la croissance exponentielle de l'intelligence artificielle permettra à terme aux ordinateurs d'aider les mathématiciens dans leurs recherches. De tels travaux peuvent aider les ordinateurs à comprendre ce que nous faisons dans la recherche mathématique moderne." le projet?
Le projet de formalisation du dernier théorème de Fermat est désormais lancé. Buzzard montre les progrès actuels dans un graphique.
Les chercheurs intéressés peuvent lire les détails : https://imperialcollegelondon.github.io/FLT/blueprint/dep_graph_document.html
Lien du manuel : https://leanprover-community.github.io/mathematics_in_lean/
Lien de discussion Lean Zulip : https://leanprover.zulipchat.com/
Dans le même temps, les outils de preuve formelle comme Lean sont également en constante itération. Par rapport au Lean original, la dernière version Lean 4 présente de nombreuses optimisations, notamment un compilateur plus rapide, une gestion améliorée des erreurs et une meilleure intégration avec des outils externes.
À la fin de l'année dernière, l'équipe de la plateforme ouverte LeanDojo et des chercheurs de Caltech ont également lancé Lean Copilot, un outil de collaboration conçu pour permettre aux grands modèles de langage d'interagir avec les humains, injectant la puissance des grands modèles d'IA dans la recherche mathématique.
"Je prédis que, si elle est utilisée correctement, l'IA deviendra un co-auteur de confiance dans la recherche mathématique et dans de nombreux autres domaines d'ici 2026", a déclaré Terence Tao dans un blog précédent.
J’espère que la prédiction de Terence Tao se réalisera bientôt.
Lecture connexe :
Lien de référence : https://leanprover.zulipchat.com/#narrow/ flux /416277-FLT
https://mp.weixin.qq.com/s/d9RSkRhlKH5ZMek3yTqe4Q
Ce qui précède est le contenu détaillé de. pour plus d'informations, suivez d'autres articles connexes sur le site Web de PHP en chinois!

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