クレイ研究所の賞金 100 万ドルは AI に与えられます。数学のルールは大きく変わりました。将来、数学者は「巨大な推測」にどう対処するのでしょうか。

数学の世界では、「証明されていない予想」を完全に証明するには、才能、直観、経験の組み合わせが必要となることが多く、数学者でも発見のプロセスを説明するのは困難です。

しかし、近年の大規模なモデルの台頭により、AI は楕円曲線の複雑さの予測において人間を超えるだけでなく、基本定数の新しい公式を探求する新たな変化を目の当たりにしました。達成。

最近、ロンドンの数理科学研究所所長であるトーマス・フィンク氏は、ネイチャー誌の世界観コラムに、AIが数学の分野でどのように独自の役割を果たすのか、そして数学者が数学の分野からAIがどのように移行するのに役立つのかを探る記事を発表しました。推測から証明へ。この記事でフィンク氏は、数学的推論と証明における AI の可能性と、数学分野の進歩に対する AI の影響について言及しました。 フィンク氏は、AIは多数の数学的問題の分析と推論を通じて、AIに隠されたパターンや法則を発見できると指摘した。たとえば、機械学習アルゴリズムを通じて、AI は何百万もの数学的問題から学習できます

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記事リンク: https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

数学的データの豊富さと独自性は、AI トレーニングに肥沃な土壌を提供します。素数から結び目理論に至るまで、AI は数学的オブジェクト間の新しい関係を発見するのに役立ちます。

たとえば、オンライン整数列百科事典 (OEIS) を通じて、AI ツールを使用して約 375,000 の列を検索し、予期しない関係を見つけることができます。この記事では、AI が数学データの海をどのようにナビゲートして、それらの関係を発見できるかを明らかにしています。人類はまだ手の届くところにある宝物を発見していません。

しかし、AIは数学の分野で幅広い応用の可能性を秘めていますが、万能ではありません。

G. H. ハーディが 1940 年の論文「数学者の謝罪」で述べたように、優れた定理は多くの数学的構造の不可欠な部分であるべきです。

AI はパターンを発見し、推測を形成するのに役立ちますが、これらの推測の重要性を区別するには、数学者の直観とこの分野の発展に対する深い理解が必要です。

著者は、AI が数学者の創造性を代替するものではなく、触媒としてどのように機能できるかを探求します。両者は共同して数学の限界を押し広げ、拡張することができます。

トーマス・フィンクは、物理学と数学の研究に従事する非営利機関であるロンドンの数理科学研究所の研究者です。彼は修復可能性や組換えイノベーションなどのテーマについて BHI と協力しており、研究対象には離散力学、複雑なネットワーク、生物学の基本法則が含まれます。

数学 + AI

2017 年、所長として私を含むロンドンの数理科学研究所の研究者たちは、探索的な試みとして機械学習技術を数学的データ分析に適用し始めました。数学分野における人工知能 (AI) の応用に関する予備調査の始まり。

新型コロナウイルス感染症のパンデミック中に、私たちは予期せぬ発見をしました。それは、単純な AI 分類器が楕円曲線のランク (楕円曲線の複雑さの尺度) を予測できるということです。

楕円曲線は数論の基礎であり、かつてクレイ数学研究所は、ミレニアムの 7 つの主要な数学問題を選択し、各問題に対して 100 万米ドルの賞金を提供しました。楕円曲線はこれらの問題を解決すると予測されています。これは重要なステップですが、当時、AI が数学の分野で役割を果たすことができると楽観的に考えている人はほとんどいませんでした。

2021 年、研究者によって設計されたラマヌジャン マシンは、π や e などの基本定数の新しい式を生成しました。このモデルは、連分数の族を徹底的に検索することによってアルゴリズムを実装しました。ここで、連分数は分数の特殊な表現です。 、無限数の積み重ねられた分数で構成され、各分数の分母自体が分数であり、分母チェーンを形成します。

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紙のリンク: https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

ラマヌジャンマシンによって生成されたいくつかの数式は数学者によって証明されていますそれは正しいです数学の分野に新しい知識ポイントが追加されますが、すべての公式が証明されているわけではありません。一部の公式は依然として数学コミュニティが直面している未解決の問題であり、将来の数学者と AI テクノロジーが探索して解決するのを待っています。

結び目理論は、空間内で線やロープがどのようにねじれ、結び目になるかを主に研究するトポロジーの分野です。この分野では通常、両端が接着されて閉ループを形成する理想的なロープを考慮します。

最近、Google DeepMind の研究者は、ニューラル ネットワーク テクノロジーを使用してさまざまな結び目のデータ分析を実施し、結び目のパターンを識別して理解できるようにニューラル ネットワークをトレーニングしました。最も驚くべきことは、モデルがノットの代数的性質を発見したことです。幾何学的形状の間にはこれまで知られていなかった関係があり、これは数学の代数的および幾何学的手法を通じて、結び目の構造と特性をより深く理解できることを意味しており、これは数学や物理学などの分野の研究に影響を及ぼします。 。

AI が数学分野に与える影響数学は、現実世界の実験とは異なり、偶然性を一切受け入れない精密科学です。数学における反例は、推測を覆すのに十分です。

たとえば、ポーリャ予想では、任意の整数以下のほとんどの整数は素因数の数が奇数であるとかつて考えられていましたが、906,180,359 という数字はこの条件を満たさないため、この予想は 1960 年に間違いであることが証明されました。反例は次のとおりです。改ざんされた。

さらに、素数やノットなどの数学的オブジェクトは遍在しているため、数学の分野でのデータ取得コストは比較的低くなります。たとえば、オンライン整数列百科事典 (OEIS) には 375,000 個近くの列が含まれています。有名なフィボナッチ数列から急速に成長しているビジー ビーバー数列まで、科学者は機械学習ツールを使用して OEIS データベースを検索し、新しい数学的関係を見つけ始めています。

人工知能は、数学のパターンを発見したり、新しい推測を考え出すのにも役立ちます。

しかし、すべての予想が同じように重要であるわけではありません。優れた予想は、数学の理解を促進し、より多くの数学的構造を構築するのに役立ち、さまざまな種類の定理を証明するのに役立ちます。

しかし、どの予想がより価値があるかを区別するには、数学の分野自体の発展に対する深い直観と理解、そして数学の全体的な発展の把握が必要ですが、人工知能の場合はそうではないかもしれません。長い間達成するのは難しい。

つまり、AI はパターンや推測を特定するのに役立ちますが、どの推測が実際に重要であるかを特定するにはまだ長い道のりがあるかもしれません。

数学分野での人工知能の応用には懸念がありますが、AIの導入は間違いなく数学コミュニティにプラスの影響をもたらし、数学研究に重要な利点をもたらすだけでなく、可能性も広げます。新しい研究の道を開拓し、創造的思考を刺激します。

数学雑誌は数学的予想に関する出版物の数を増やすべきです。歴史的には、フェルマーの最終定理やリーマンの仮説などの多くの主要な数学的問題と、あまり知られていない多くの予想が数学分野の発展を大きく促進してきました。これらの予想は研究者に正しい答えを提供し、研究の方向性を加速させます。数学的研究のプロセス。

したがって、推測に関する学術論文、特にデータの裏付けや刺激的な議論を伴う論文を出版することは、科学的発見を促進する上で非常に重要です。

Google DeepMind の研究を例に挙げると、昨年、彼らは 220 万の新しい結晶構造を予測しましたが、これらの新しい材料の安定性、合成の可能性、および実用化の価値については、さらに検証および研究する必要があります。現在、この研究は主に人間の研究者による材料科学の幅広い背景の専門知識と理解に依存しています。

さらに、AI ツールによって生成された結果を理解して解釈するには、数学者の想像力と直観が不可欠です。

AI は、人間に取って代わるというよりは、このプロセスにおいて人間の創造性を促進し刺激する役割を果たしており、数学者が未知の領域をより迅速に探索し、新しい数学的真実を発見するのを助けるツールのようなものです。

参考:

https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

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