なぜ人工知能は数学に革命を起こすことができるのか

編集者 | キャベツの葉

「予想（真であると思われるが、明確な証明が必要な命題）を提案することは、数学者にとって神聖なインスピレーションの瞬間のようなものです。直観に反しますが、数学的予想はただそこにあるわけではありません。これは機械知能の最も変革的な分野だと思う、とロンドンの数理科学研究所所長トーマス・フィンク氏は語った。

2017 年、ロンドンの数理科学研究所の研究者は、趣味として機械学習を数学データに適用し始めました。新型コロナウイルス感染症のパンデミック中に、彼らは、単純な人工知能 (AI) 分類器が、楕円曲線の複雑さの尺度である楕円曲線の順位を予測できることを発見しました。

論文リンク: https://arxiv.org/abs/2204.10140

楕円曲線は、その基本的な統計を理解することが、これらの 7 つのミレニアム問題の 1 つを解決するための重要なステップです。 7 つの主要なパズルはロードアイランド州プロビデンスのクレイ数学研究所によって選ばれ、それぞれ 100 万ドルが授与されます。この一か八かの分野で人工知能が役割を果たすことを期待する人はほとんどいません。

人工知能は他の分野でも進歩しています。数年前、ラマヌジャン マシンと呼ばれるコンピューター プログラムが、π や e などの基本定数の新しい式を生成しました。これは、連分数の族、つまり、分母が数値と分数を加算した分数である分数、その分母が数値と分数を加算した分数が分数である場合の分数などを徹底的に検索することによって行われます。これらの推測の一部は証明されていますが、その他は未解決のままです。

論文リンク: https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

もう 1 つの例は、トポロジーの一分野であるノット理論に関連しています。ロープの端がくっつく前に、ロープが絡まってしまいます。 Google DeepMind の研究者は、さまざまなノットからのデータを使用してニューラル ネットワークをトレーニングし、代数的構造と幾何学的構造の間の予期せぬ関係を発見しました。

論文リンク: https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

人間の創造性が重要視される数学の分野において、人工知能はどのような影響を与えることができるのでしょうか?

まず第一に、数学に偶然はありません。実際の実験では、偽陰性と偽陽性が多発します。しかし数学では、反例がこの予想を完全に覆します。たとえば、ポリア予想では、特定の整数以下のほとんどの整数は奇数の素因数を持つと述べられています。しかし、1960 年までに、この推測は 906,180,359 という数字には当てはまらないことが判明しました。ポリアの推測はすぐに反証されました。

第二に、人工知能を訓練できる数学的データは安価です。素数、ノット、その他多くの種類の数学的オブジェクトが豊富にあります。オンライン整数列百科事典 (OEIS) には、よく知られたフィボナッチ数列 (1、1、2、3、5、8、13、...) から強力なビジー ビーバー数列 (0、1、4) まで、約 375,000 の数列が含まれています。 、6、13、...)、これはどの計算可能な関数よりも速く増加します。科学者たちはすでに機械学習ツールを使用して OEIS データベースを検索し、予期せぬ関係を発見しています。

OEIS: https://oeis.org/

人工知能は、パターンを発見し、推測を形成するのに役立ちます。しかし、すべての推測が一貫しているわけではありません。それらは数学の理解を向上させるためにも必要です。 G. H. ハーディは 1940 年の記事「数学者の謝罪」の中で、優れた定理とは「さまざまな種類の定理を証明するために使用される多くの数学的構造の不可欠な部分であるべきである」と説明しました。

言い換えれば、最良の定理は新しい定理を発見する可能性を高めます。新しい数学的フロンティアに到達するのに役立つ推測は、得られる洞察が少ない推測よりも優れています。しかし、それらを区別するには、その分野自体がどのように発展するかについての直観が必要です。このように広範な状況を把握することは、長期的には人工知能の能力を超えているため、この技術は重要な推測を見つけるのに苦労するでしょう。

これらの潜在的な問題にもかかわらず、数学コミュニティで AI ツールを広く採用することには多くの利点があります。人工知能は決定的な利点をもたらし、新しい研究の道を切り開くことができます。

主流の数学ジャーナルも、より多くの推測を掲載する必要があります。フェルマーの最終定理、リーマンの仮説、ヒルベルトの 23 の問題、ラマヌジャンの多くの正体など、数学の最も重要な問題のいくつかと、あまり知られていない無数の予想が、この分野の方向性の発展を形作ってきました。推測は私たちを正しい方向に導き、研究をスピードアップします。データやヒューリスティックな議論によって裏付けられた推測に関する雑誌記事は、発見を加速します。

2023 年に、Google DeepMind の研究者は、220 万の新しい結晶構造が出現すると予測しています。しかし、これらの潜在的な新材料のうちどれだけが安定しており、合成可能であり、実用化できるかはまだ分からない。現在、これは主に材料科学の幅広い背景を持つ人間の研究者が担当しています。

論文リンク: https://www.nature.com/articles/s41586-023-06735-9

同様に、人工知能ツールの出力を理解するには、数学者の想像力と直観が必要です。したがって、AI は人間の創造性の触媒としてのみ機能し、代替となるものではありません。

関連コンテンツ: https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

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