曲線積分変換：なぜ極座標変換の代わりにy = sin（t）を使用するのですか？

曲線積分変数の置換に関する議論

このペーパーでは、曲線の統合問題における可変置換の手法を分析します。答えは、極座標変換を使用するのではなく、三角関数置換を使用して積分計算を簡素化することです。

元の積分式は、$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $です

答えは、要素を交換する次の方法です。積分間隔$ y \ in（0、1）$、$ t \ in（0、\ frac {\ pi} {2}）$。この間隔では、$ \ sin（t）$および$ \ cos（t）$はどちらも正の値です。

コンバーターを置き換えた後、積分式は次のようになります。

$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \

$ d（\ sin t）= \ cos t dt $、および$ \ sqrt {1 - \ sin^2t} = \ cos t $（0、\ frac {\ pi} {2}）$の間隔）、積分は次のことを単純化できます。

$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos t} \ cos t dt = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2t dt $

$ y = \ sin（t）$の置換により、ルート番号は巧妙に排除され、積分計算が簡素化されます。これは、統合プロセスを簡素化する際に適切な変数置換を選択することの重要性を反映しています。極座標変換と比較して、この方法は、この特定の統合的な問題をより直接的かつ効果的に解決します。重要なのは、変換変数を合理的に選択し、積分制限と微分要素を正しく処理することです。

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