Python で実装された Kmeans++ アルゴリズムの例

1、从Kmeans说起

Kmeans是一个非常基础的聚类算法，使用了迭代的思想，关于其原理这里不说了。下面说一下如何在matlab中使用kmeans算法。

创建7个二维的数据点：

复制代码 代码如下:

x=[randn(3,2)*.4;randn(4,2)*.5+ones(4,1)*[4 4]];
使用kmeans函数：

复制代码 代码如下:

class = kmeans(x, 2);
x是数据点，x的每一行代表一个数据；2指定要有2个中心点，也就是聚类结果要有2个簇。 class将是一个具有70个元素的列向量，这些元素依次对应70个数据点，元素值代表着其对应的数据点所处的分类号。某次运行后，class的值是：

复制代码 代码如下:

 2
 2
 2
 1
 1
 1
 1
这说明x的前三个数据点属于簇2，而后四个数据点属于簇1。 kmeans函数也可以像下面这样使用：

复制代码 代码如下:

>> [class, C, sumd, D] = kmeans(x, 2)

class =
     2
     2
     2
     1
     1
     1
     1

C =
    4.0629    4.0845
   -0.1341    0.1201

sumd =
    1.2017
    0.2939

D =
   34.3727    0.0184
   29.5644    0.1858
   36.3511    0.0898
    0.1247   37.4801
    0.7537   24.0659
    0.1979   36.7666
    0.1256   36.2149

class依旧代表着每个数据点的分类;C包含最终的中心点，一行代表一个中心点；sumd代表着每个中心点与所属簇内各个数据点的距离之和；D的每一行也对应一个数据点，行中的数值依次是该数据点与各个中心点之间的距离，Kmeans默认使用的距离是欧几里得距离（参考资料[3]）的平方值。kmeans函数使用的距离，也可以是曼哈顿距离（L1-距离），以及其他类型的距离，可以通过添加参数指定。

kmeans有几个缺点（这在很多资料上都有说明）：

1、最终簇的类别数目（即中心点或者说种子点的数目）k并不一定能事先知道，所以如何选一个合适的k的值是一个问题。
2、最开始的种子点的选择的好坏会影响到聚类结果。
3、对噪声和离群点敏感。
4、等等。

2、kmeans++算法的基本思路

kmeans++算法的主要工作体现在种子点的选择上，基本原则是使得各个种子点之间的距离尽可能的大，但是又得排除噪声的影响。 以下为基本思路：

1、从输入的数据点集合（要求有k个聚类）中随机选择一个点作为第一个聚类中心
2、对于数据集中的每一个点x，计算它与最近聚类中心(指已选择的聚类中心)的距离D(x)
3、选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：D(x)较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大
4、重复2和3直到k个聚类中心被选出来
5、利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法

假定数据点集合X有n个数据点，依次用X(1)、X(2)、……、X(n)表示，那么，在第2步中依次计算每个数据点与最近的种子点（聚类中心）的距离，依次得到D(1)、D(2)、……、D(n)构成的集合D。在D中，为了避免噪声，不能直接选取值最大的元素，应该选择值较大的元素，然后将其对应的数据点作为种子点。

如何选择值较大的元素呢，下面是一种思路（暂未找到最初的来源，在资料[2]等地方均有提及，笔者换了一种让自己更好理解的说法）： 把集合D中的每个元素D(x)想象为一根线L(x)，线的长度就是元素的值。将这些线依次按照L(1)、L(2)、……、L(n)的顺序连接起来，组成长线L。L(1)、L(2)、……、L(n)称为L的子线。根据概率的相关知识，如果我们在L上随机选择一个点，那么这个点所在的子线很有可能是比较长的子线，而这个子线对应的数据点就可以作为种子点。下文中kmeans++的两种实现均是这个原理。

3、python版本的kmeans++

在http://rosettacode.org/wiki/K-means%2B%2B_clustering 中能找到多种编程语言版本的Kmeans++实现。下面的内容是基于python的实现（中文注释是笔者添加的）：

复制代码 代码如下:

from math import pi, sin, cos
from collections import namedtuple
from random import random, choice
from copy import copy

try:
    import psyco
    psyco.full()
except ImportError:
    pass

FLOAT_MAX = 1e100

class Point:
    __slots__ = ["x", "y", "group"]
    def __init__(self, x=0.0, y=0.0, group=0):
        self.x, self.y, self.group = x, y, group

def generate_points(npoints, radius):
    points = [Point() for _ in xrange(npoints)]

    # note: this is not a uniform 2-d distribution
    for p in points:
        r = random() * radius
        ang = random() * 2 * pi
        p.x = r * cos(ang)
        p.y = r * sin(ang)

    return points

def nearest_cluster_center(point, cluster_centers):
    """Distance and index of the closest cluster center"""
    def sqr_distance_2D(a, b):
        return (a.x - b.x) ** 2  +  (a.y - b.y) ** 2

    min_index = point.group
    min_dist = FLOAT_MAX

    for i, cc in enumerate(cluster_centers):
        d = sqr_distance_2D(cc, point)
        if min_dist > d:
            min_dist = d
            min_index = i

    return (min_index, min_dist)

'''
points是数据点，nclusters是给定的簇类数目
cluster_centers包含初始化的nclusters个中心点，开始都是对象->(0,0,0)
'''

def kpp(points, cluster_centers):
    cluster_centers[0] = copy(choice(points)) #随机选取第一个中心点
    d = [0.0 for _ in xrange(len(points))]  #列表，长度为len(points)，保存每个点离最近的中心点的距离

    for i in xrange(1, len(cluster_centers)):  # i=1...len(c_c)-1
        sum = 0
        for j, p in enumerate(points):
            d[j] = nearest_cluster_center(p, cluster_centers[:i])[1] #第j个数据点p与各个中心点距离的最小值
            sum += d[j]

        sum *= random()

        for j, di in enumerate(d):
            sum -= di
            if sum > 0:
                continue
            cluster_centers[i] = copy(points[j])
            break

    for p in points:
        p.group = nearest_cluster_center(p, cluster_centers)[0]

'''
points是数据点，nclusters是给定的簇类数目
'''
def lloyd(points, nclusters):
    cluster_centers = [Point() for _ in xrange(nclusters)]  #根据指定的中心点个数，初始化中心点，均为(0,0,0)

    # call k++ init
    kpp(points, cluster_centers)   #选择初始种子点

    # 下面是kmeans
    lenpts10 = len(points) >> 10

    changed = 0
    while True:
        # group element for centroids are used as counters
        for cc in cluster_centers:
            cc.x = 0
            cc.y = 0
            cc.group = 0

        for p in points:
            cluster_centers[p.group].group += 1  #与该种子点在同一簇的数据点的个数
            cluster_centers[p.group].x += p.x
            cluster_centers[p.group].y += p.y

        for cc in cluster_centers:    #生成新的中心点
            cc.x /= cc.group
            cc.y /= cc.group

        # find closest centroid of each PointPtr
        changed = 0  #记录所属簇发生变化的数据点的个数
        for p in points:
            min_i = nearest_cluster_center(p, cluster_centers)[0]
            if min_i != p.group:
                changed += 1
                p.group = min_i

        # stop when 99.9% of points are good
        if changed <= lenpts10:
break

for i, cc in enumerate(cluster_centers):
cc.group = i

return cluster_centers

def print_eps(points, cluster_centers, W=400, H=400):
Color = namedtuple("Color", "r g b");

colors = []
for i in xrange(len(cluster_centers)):
colors.append(Color((3 * (i + 1) % 11) / 11.0,
(7 * i % 11) / 11.0,
(9 * i % 11) / 11.0))

max_x = max_y = -FLOAT_MAX
min_x = min_y = FLOAT_MAX

for p in points:
if max_x < p.x: max_x = p.x
if min_x > p.x: min_x = p.x
        if max_y < p.y: max_y = p.y
if min_y > p.y: min_y = p.y

    scale = min(W / (max_x - min_x),
                H / (max_y - min_y))
    cx = (max_x + min_x) / 2
    cy = (max_y + min_y) / 2

    print "%%!PS-Adobe-3.0\n%%%%BoundingBox: -5 -5 %d %d" % (W + 10, H + 10)

    print ("/l {rlineto} def /m {rmoveto} def\n" +
           "/c { .25 sub exch .25 sub exch .5 0 360 arc fill } def\n" +
           "/s { moveto -2 0 m 2 2 l 2 -2 l -2 -2 l closepath " +
           "   gsave 1 setgray fill grestore gsave 3 setlinewidth" +
           " 1 setgray stroke grestore 0 setgray stroke }def")

    for i, cc in enumerate(cluster_centers):
        print ("%g %g %g setrgbcolor" %
               (colors[i].r, colors[i].g, colors[i].b))

        for p in points:
            if p.group != i:
                continue
            print ("%.3f %.3f c" % ((p.x - cx) * scale + W / 2,
                                    (p.y - cy) * scale + H / 2))

print ("n0 setgray %g %g s" % ((cc.x - cx) * スケール + W / 2,
) (cc.y - cy) * スケール + H / 2))

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def main():
npoints = 30000
k = 7 # # クラスター

ポイント = generated_points(npoints, 10)
クラスターセンター = lloyd(ポイント, k)
print_eps(ポイント, クラスターセンター)

メイン()

上記のコードで実装されたアルゴリズムは 2 次元データ用であるため、Point オブジェクトには 3 つの属性があります。つまり、x 軸の値、y 軸の値、およびクラスターの識別です。それは属します。関数 lloyd は kmeans++ アルゴリズムの全体的な実装であり、まず kpp 関数を通じて適切なシード ポイントを選択し、次にクラスタリング用のデータ セットに kmeans アルゴリズムを実装します。 kpp 関数の実装は、上記の kmeans++ の基本的な考え方のステップ 2、3、および 4 と完全に一致しています。

4. kmeans++ の Matlab バージョン

コードをコピー コードは次のとおりです。

function [L,C] = kmeanspp(X,k)
%KMEANS k-means++ アルゴリズムを使用して多変量データをクラスター化します。
% [L,C] = kmeans_pp(X,k) は、1 つのクラスを持つ 1 x size(X,2) のベクトル L を生成します
% X の列ごとのラベルと、各クラスに対応する
% 中心を含む size(X,1) 行 k 列の行列 C。

% バージョン: 2013-02-08
% 作成者: Laurent Sorber (Laurent.Sorber@cs.kuleuven.be)

L = [];
L1 = 0;

while length(unique(L)) ~= k

% k-means++ の初期化。
C = X(:,1+round(rand*(size(X,2)-1))); %size(X,2) はデータセット X です。データ点の数、C は中心点のセットです
L = ones(1,size(X,2));
for i = 2:k
D = X-C(:,L) ; % -1
D = Cumsum(sqrt(dot(D,D,1))); % D(end) == 0 の場合、シーケンス内の各データ点と中心点の間の距離を累積します。 C( :,i:k) = X(:,ones(1,k-i+1)); return; end
C(:,i) = X(:,find(rand [~,L] = max(bsxfun(@minus,2*real(C'*X),dot(C, C ,1).')); %Fortress、この文は各データ ポイントを分類します。
終了

% K 平均法アルゴリズム。

while any(L ~= L1)
L1 = L;
for i = 1:k, l = L==i; ) = sum ( C,1).'),[],1);
end

終了

この関数の実装はやや特殊です。パラメーター X はデータセットですが、各列はデータポイントとみなされ、パラメーター k は指定されたクラスター数です。戻り値 L は各データ ポイントの分類を示し、戻り値 C は最終的な中心点を保存します (1 つの列が中心点を表します)。テストします:

コードをコピーします コードは次のとおりです: >> x=[randn(3, 2)*.4;randn(4,2)*.5+ones(4,1)*[4 4]]

x =
-0.0497 0.5669
0.5959 0.2686
0.5636 -0.4830
4.3586 4.3634
4.8151 3.8483
4.2444 4.1469
4.5173 3.6064

>>> [L, C] = kmeanspp(x',2)L =

2 2 2 1 1 1 1
C =
4.4839 0.3699
3.9913 0.1175

さて、この実装を少し理解し始めて、MATLAB の知識を固めましょう。

独自の関数は、行列内のさまざまな値を取得するために使用されます。例:

コードをコピーします コードは次のとおりです: >> unique([1 3 3 4 4 5])

ans =
1 3 4 5
>> unique([1 3 3 ; 4 4 5] ])
ans =
1
3
4
5

所以循环 while length(unique(L)) ~= k 以得到了k个聚类为结束条件，不过一般情况下，这个循环一次就结束了，因为重点在这个循环中。

rand是返回在(0,1)这个区间的一个随机数。在注释%-1所在行，C被扩充了，被扩充的方法类似于下面：

复制代码 代码如下:

>> C =[];
>> C(1,1) = 1
C =
     1
>> C(2,1) = 2
C =
     1
     2
>> C(:,[1 1 1 1])
ans =
     1     1     1     1
     2     2     2     2
>> C(:,[1 1 1 1 2])
Index exceeds matrix dimensions.

C中第二个参数的元素1，其实是代表C的第一列数据，之所以在值2时候出现Index exceeds matrix dimensions.的错误，是因为C本身没有第二列。如果C有第二列了：

复制代码 代码如下:

>> C(2,2) = 3;
>> C(2,2) = 4;
>> C(:,[1 1 1 1 2])
ans =
     1     1     1     1     3
     2     2     2     2     4
dot函数是将两个矩阵点乘，然后把结果在某一维度相加：

复制代码 代码如下:

>> TT = [1 2 3 ; 4 5 6];
>> dot(TT,TT)
ans =
    17    29    45
>> dot(TT,TT,1 )
ans =
    17    29    45
cumsum是累加函数：

复制代码 代码如下:

>> cumsum([1 2 3])
ans =
     1     3     6
>> cumsum([1 2 3; 4 5 6])
ans =
     1     2     3
     5     7     9
max函数可以返回两个值，第二个代表的是max数的索引位置：

复制代码 代码如下:

>> [~, L] = max([1 2 3])
L =
     3
>> [~,L] = max([1 2 3;2 3 4])
L =
     2     2     2
其中~是占位符。

关于bsxfun函数，官方文档指出：

复制代码 代码如下:

C = bsxfun(fun,A,B) applies the element-by-element binary operation specified by the function handle fun to arrays A and B, with singleton expansion enabled
其中参数fun是函数句柄，关于函数句柄见资料[9]。下面是bsxfun的一个示例：

复制代码 代码如下:

>> A= [1 2 3;2 3 4]
A =
     1     2     3
     2     3     4
>> B=[6;7]
B =
     6
     7
>> bsxfun(@minus,A,B)
ans =
    -5    -4    -3
    -5    -4    -3
对于：

复制代码 代码如下:

[~,L] = max(bsxfun(@minus,2*real(C'*X),dot(C,C,1).'));
max的参数是这样一个矩阵，矩阵有n列，n也是数据点的个数，每一列代表着对应的数据点与各个中心点之间的距离的相反数。不过这个距离有些与众不同，算是欧几里得距离的变形。

データ点が 2 次元で、特定のデータ点が (x1, y1)、特定の中心点が (c1, d1) であると仮定すると、bsxfun(@minus,2real(C'X), dot(C ,C,1).') の計算では、データ点と中心点の間の距離は 2c1x1 + 2d1y1 -c1.^2 - c2.^2 となり、x1.^2 + y1 に変換できます。 ^2 - (c1-x1 ).^2 - (d1-y1).^2。各列について、データ点と各中心点の間の計算であるため、x1.^2 + y1.^2 は無視でき、最終的な計算結果はユークリッド距離の 2 乗の逆数になります。これは、データ ポイントが属するクラスターがそのデータ ポイントに最も近い中心ポイントに依存するため、max を使用する合理性も示しています。距離が逆の場合、それが最大値を持つポイントになるはずです。