Java データ構造 AVL ツリーの例の分析

#AVL ツリーの紹介

バイナリ ツリーの検索は検索効率が非常に高いですが、バイナリ ツリーを検索すると次のような極端な状況が発生します。

こんな感じ 二分木の検索効率は連結リストよりもさらに低いです。この問題を解決するのが、探索二分木に基づいて現れるバランス二分木（AVLツリー）です。平衡二分木 (AVL ツリー) のノードの左右のサブツリー間の高さの差の絶対値が 1 より大きい場合、それらの高さの差は回転操作によって減少します。

基本概念

AVL ツリーは本質的に二分探索木であり、その特徴は次のとおりです:

1. それ自体が最初に

   二分探索木です。

2. 各ノードの左右のサブツリーの

   高さの差の絶対値 (バランス係数) は最大 1 です。言い換えれば、AVL ツリーは本質的に、 バランシング関数 を備えた二分探索ツリー (二分ソート ツリー、二分探索ツリー) です。

3. ノードを挿入または削除する場合、ノードの左右のサブツリー間の高さの差の絶対値は 1 より大きくなります。この場合、次の値を渡す必要があります。

   左回転および右回転操作により、二分木は再び平衡状態に達します。

バランス係数 (balanceFactor)

• ノードの左側のサブツリーと右側のサブツリー

  高さの差は ＃＃＃。

AVL ツリー内のノードの BF は、
• -1、0、および 1 のみです。

基本設計

AVL ツリーに必要な単純なメソッドと属性を次に示します:

public class AVLTree <E extends Comparable<E>>{
    class Node{
        E value;
        Node left;
        Node right;
        int height;
        public Node(){}
        public Node(E value){
            this.value = value;
            height = 1;
            left = null;
            right = null;
        }
        public void display(){
            System.out.print(this.value + " ");
        }
    }
    Node root;
    int size;
    public int size(){
        return size;
    }
    public int getHeight(Node node) {
        if(node == null) return 0;
        return node.height;
    }
    //获取平衡因子(左右子树的高度差，大小为1或者0是平衡的，大小大于1不平衡)
    public int getBalanceFactor(){
        return getBalanceFactor(root);
    }
    public int getBalanceFactor(Node node){
        if(node == null) return 0;
        return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
    }

    //判断一个树是否是一个平衡二叉树
    public boolean isBalance(Node node){
        if(node == null) return true;
        int balanceFactor = Math.abs(getBalanceFactor(node.left) - getBalanceFactor(node.right));
        if(balanceFactor > 1) return false;
        return isBalance(node.left) && isBalance(node.right);
    }
    public boolean isBalance(){
        return isBalance(root);
    }

    //中序遍历树
    private  void inPrevOrder(Node root){
        if(root == null) return;
        inPrevOrder(root.left);
        root.display();
        inPrevOrder(root.right);
    }
    public void inPrevOrder(){
        System.out.print("中序遍历：");
        inPrevOrder(root);
    }}

RR(左利き)

下に示すように、ツリーの右側のサブツリーの右側のサブツリーにノードを挿入すると、バイナリ ツリーのバランスが崩れます。バランスの取れたバイナリ ツリーに 5 を挿入すると、ツリーのバランスが崩れます。この時点で、このとき、次のように左折操作が必要になります。

コードは次のとおりです。

//左旋,并且返回新的根节点
    public Node leftRotate(Node node){
        System.out.println("leftRotate");
       Node cur = node.right;
       node.right = cur.left;
       cur.left = node;
       //跟新node和cur的高度
        node.height = Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)) + 1;
        cur.height = Math.max(getHeight(cur.left),getHeight(cur.right)) + 1;
        return cur;
    }

LL (右回転)

ノードを挿入します。 AVL ツリーの左サブツリーの左サブツリーを追加すると、下図のように二分木が不均衡になります。バランスの取れた二分木に 2 を挿入すると、ツリーがアンバランスになります。このとき、左折は次のような操作が必要です:

コードは次のとおりです:

 //右旋，并且返回新的根节点
    public Node rightRotate(Node node){
        System.out.println("rightRotate");
        Node cur = node.left;
        node.left = cur.right;
        cur.right = node;
        //跟新node和cur的高度
        node.height = Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)) + 1;
        cur.height = Math.max(getHeight(cur.left),getHeight(cur.right)) + 1;
        return cur;
    }

LR (最初に左に回転し、次に右に回転します)

AVL ツリー

の左サブツリーの右サブツリー

。その結果、ツリーのバランスが崩れています。最初に 左サブツリーを修正する必要があります。左回転 を実行してから、回転します ツリー全体を右に 、以下の図に示すように、ノード 5.
RL を挿入します (最初に右に回転し、次に左に回転します)

AVL ツリー

の右サブツリーの左サブツリー

にノードを挿入すると、ツリーのバランスが崩れます。最初に 右サブツリー を右回転する必要があります。次に ツリー全体を左回転します。 下の図に示すように、ノード 2 を挿入します。
ノードを追加

//添加元素
    public  void add(E e){
        root = add(root,e);
    }
    public Node add(Node node, E value) {
        if (node == null) {
            size++;
            return new Node(value);
        }
        if (value.compareTo(node.value) > 0) {
            node.right = add(node.right, value);
        } else if (value.compareTo(node.value) < 0) {
            node.left = add(node.left, value);
        }
        //跟新节点高度
        node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;
        //获取当前节点的平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
        //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的左子树上，此时需要进行右旋
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
            return rightRotate(node);
        }
        //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树子树的右子树上，此时需要进行左旋
        else if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
            return leftRotate(node);
        }
        //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的右子树上，此时需要先对左子树左旋，在整个树右旋
        else if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }
        //balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.left) > 0
        //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树的左子树上，此时需要先对右子树右旋，再整个树左旋
        else if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }
        return node;
    }

ノードを削除

 //删除节点
    public E remove(E value){
        root = remove(root,value);
        if(root == null){
            return null;
        }
        return root.value;
    }
    public Node remove(Node node, E value){
        Node retNode = null;
        if(node == null)
            return retNode;
        if(value.compareTo(node.value) > 0){
            node.right = remove(node.right,value);
            retNode = node;
        }
        else if(value.compareTo(node.value) < 0){
            node.left = remove(node.left,value);
            retNode = node;
        }
        //value.compareTo(node.value) = 0
        else{
            //左右节点都为空，或者左节点为空
            if(node.left == null){
                size--;
                retNode = node.right;
            }
            //右节点为空
            else if(node.right == null){
                size--;
                retNode = node.left;
            }
            //左右节点都不为空
            else{
                Node successor = new Node();
                //寻找右子树最小的节点
                Node cur = node.right;
                while(cur.left != null){
                    cur = cur.left;
                }
                successor.value  = cur.value;
                successor.right = remove(node.right,value);
                successor.left = node.left;
                node.left =  node.right = null;
                retNode = successor;
            }
            if(retNode == null)
                return null;
            //维护二叉树平衡
            //跟新height
            retNode.height = Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right));
        }
        int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
        //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的左子树上，此时需要进行右旋
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
            return rightRotate(retNode);
        }
        //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树子树的右子树上，此时需要进行左旋
        else if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
            return leftRotate(retNode);
        }
        //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的右子树上，此时需要先对左子树左旋，在整个树右旋
        else if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
            retNode.left = leftRotate(retNode.left);
            return rightRotate(retNode);
        }
        //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树的左子树上，此时需要先对右子树右旋，再整个树左旋
        else if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
            retNode.right = rightRotate(retNode.right);
            return leftRotate(retNode);
        }
        return  retNode;
    }

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