2次数列の一般式

数列の一般式の2次数列

一次再帰シーケンスの概念に従って、2、1、および を同時に含む再帰式を二次シーケンスとして定義できます。 2次数列の一般項式は1次数列に比べて複雑になります。変換を容易にするために、まず 2 次シーケンスの単純な形式を説明します。

an 2 = A * an 1 B * an , (同様に、A と B は定数係数です) 基本的な考え方は 1 次と似ていますが、複利計算の際は未確定の係数と対応する項に注意してください。

元の式の合成: 元の式を次の形式に変換します。 an 2 - ψ * an 1 = ω (an 1 - ψ * an)

この式を元の式と比較すると、次のことがわかります

ψω = A および -(ψ*ω) = B

ψ と ω の値は、これら 2 つの方程式を解くことによって取得できます。

bn = an 1 - ψ*an とすると、元の式は bn 1 = ω *bn 等比数列となり、bn 一般項の式 bn= f (n) が得られます。

与えられた方程式 an 1 - ψ*an = f(n) を通して、この式が実際には 1 次数列の定義であることがわかります。この式には 2 つのシーケンス変数 1 と an のみが含まれるため、問題を解決するために 2 次シーケンスを 1 次シーケンスに変換する「次数削減」とみなすことができます。

ある数列の二次二次漸化式の一般項は次のとおりであることが知られています

A(n 1)=A(n) A(n-1)-2A(n)*A(n-1)

1-A(n 1)=(1-An)(1-A(n-1))

に変形

Bn=1-An として、

を取得します。

B(n 1)=Bn*B(n-1)

Bn>0 であることが保証できる場合は、両辺の対数をとって lgB(n 1)=lgBn lgB(n-1)

を得ることができます。

Cn=lgB(n 1) とすれば、Cn はフィボナッチ数列になりますが、以下では省略します

Bn>0 が保証できない場合は、B3=B2B1

を観察してください。

B4=(B2)^2*B1

B5=(B2)^3*(B1)^2

B6=(B2)^5*(B1)^3

Bn=(B2)^x*(B1)^yであることに注意してください

x と y はどちらもフィボナッチ数であることは明らかです。以下は省略します。

(フィボナッチ数列については、オンラインで検索できます。一般的な用語はより複雑なので、ここでは説明しません)

上記の方法で得られる結果は Cn または Bn になる可能性があるので、最後に An=1-Bn を変換する必要があることに注意してください。これを忘れないでください。

二次漸化式から一般項式を導出するにはどうすればよいですか?

a(n 1) パン qa(n-1)=0

a(n 1) xan=y[an xa(n-1)] とします。

a(n 1) (x-y)an-xya(n-1)=0

x-y=p

xy=-q

x1=p√（p^2-4q）,y1=√（p^2-4q）,

x2=p-√（p^2-4q）,y2=-√（p^2-4q）,

a(n 1) x1an=y1[an x1a(n-1)]

a(n 1) x2an=y2[an x2a(n-1)]

2 つの方程式の除算:

[a(n 1) x1an]/[a(n 1) x2an]=(y1/y2){[an x1a(n-1)]/[an x2a(n-1)]}

bn=[a(n 1) x1an]/[a(n 1) x2an]

とします。

bn=(y1/y2)b(n-1)=-b(n-1)

bn=b1(-1)^(n-1),b1=[a2 x1a1]/[a2 x2a1]

[a(n 1) x1an]/[a(n 1) x2an]=b1(-1)^(n-1)

a(n 1) x1an=b1[a(n 1) x2an](-1)^(n-1)

=[b1(-1)^(n-1)]a(n 1) [b1(-1)^(n-1)]x2an

[1-b1(-1)^(n-1)]a(n 1)={[b1(-1)^(n-1)]x2-x1}an

[1-b1(-1)^(n-2)]an={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}a(n-1)

[1-b1(-1)^(n-3)]a(n-1)={[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}a(n-2)

……

[1-b1(-1)^2]a4={[b1(-1)^2]x2-x1}a3

[1-b1(-1)^1]a3={[b1(-1)^1]x2-x1}a2

[1-b1(-1)^0]a2={[b1(-1)^0]x2-x1}a1

両辺の乗算:

[1-b1(-1)^(n-2)][1-b1(-1)^(n-3)]……[1-b1(-1)^2][1-b1 (-1)^1][1-b1(-1)^0]an

={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}{[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}……{[b1(-1)^ 2]x2-x1}{[b1(-1)^1]x2-x1}{[b1(-1)^0]x2-x1}a1

両側の係数は既知であり、an は出力されます (a1 が指定されている限り)。

p と q が特定の数の場合、両辺は簡略化できます。

以上が2次数列の一般式の詳細内容です。詳細については、PHP 中国語 Web サイトの他の関連記事を参照してください。