逆三角関数の定積分問題の詳しい解説

逆三角関数の定積分の問題は手順が細かくて面倒です

∫ (アークシンクス)² dx

= x(arcsinx)² - ∫ x d(arcsinx)²

= x(arcsinx)² - ∫ x • 2(arcsinx) • 1/√(1 - x²) • dx

= x(arcsinx)² - 2∫ x(arcsinx)/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² - 2∫ arcsinx d[-√(1 - x²)]

= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)

= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√ (1 - x²) - 2∫ √ (1 - x²)/√ (1 - x²) dx

= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2x C

これは不定積分です

固定点を置き換えるだけです

逆三角関数の元の関数

積分法を使用して次の情報を取得します。

I = ∫ arcsinx dx = x arcsinx - ∫ [x/√（1-x^2）] dx

= x arcsinx (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arcsinx √（1-x^2） C

I = ∫ arccosx dx = x arccosx ∫ [x/√（1-x^2）] dx

= x arccosx - (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arccosx - √（1-x^2） C

I = ∫ arctanx dx = x arctanx - ∫ [x/(1 x^2)] dx

= x arctanx - (1/2) ∫ [1/(1 x^2)] d(1 x^2) = x arctanx - (1/2)ln(1 x^2) C

アークサイン arcsin x、アークコサイン arccos x、アークタンジェント arctan x、アークコタンジェント arccot x、アークセカント arcsec x、アークコセカント arcsccx の総称であり、それぞれアークサイン、アークコサイン、逆タンジェント、逆コタンジェント、逆セカントを表します、および逆コセカントは x の角度です。

詳細情報:

関数がこの区間で連続であることが最適です (ここで最適であると言われている理由は、逆セカント関数と逆コセカント関数がシャープであるためです)。研究を容易にするために、多くの場合、次のことが必要です。間隔を0～π/2角から選択します。

決定された間隔の関数値のドメインは、関数全体のドメインと同じである必要があります。このようにして求められる逆三角関数は単値であるため、上記の多値逆三角関数と区別するために、Arc の A を a in 表記に変えることがよくあります。 arcsin x として記録されます。

逆三角関数を単一値関数に制限するには、逆サイン関数の値 y を -π/2≤y≤π/2 に制限し、y を逆サイン関数の主値として使用します。 y=arcsin x として記録されます。同様に、逆余弦関数 y=arccos x の主値は 0≤y≤π に制限され、逆正接関数 y=arctan x の主値は -π/2 に制限されます。 ;π/2; 逆コタンジェント関数 y= arccot x の主値は 0

参照元：百科事典 - 逆三角関数

逆三角関数の不定積分を証明する方法

. 積分区間が対称である場合は、最初に式に奇関数が含まれているかどうかを確認します。たとえば、この問題の二乗展開は 1 2x(1-x^2)^1/2 です。 2x(1-x^2)^ 1/2 は奇関数であるため、対称区間の積分は 0 になり、「1」だけが残るため、結果は 2

になります。

2. arctan、ln などが現れたら、それらの導関数 x*arctanx を作る方法を見つけなければなりません。arctanx の導関数を作りたい場合は、部分積分を使用する必要があります:

x を後ろに置くと、元の積分公式は 1/2arctanx d(x^2) となり、部分積分の後半の積分公式は (x^2)/(1 x^2) となります。 、これは蓄積されます、鍵はarctanを導く方法を知ることです

この質問の結果は次のとおりです: 1/2(x^2*arctanx - x arctanx C)

ここでさらに問題を解けばわかると思いますが、本当の難関は異常とも言える重積分と曲面曲線積分です

部分別の積分公式の導出

部分積分の公式は非常に重要な公式であり、この公式を使用すると、積分の問題をすばやく解くことができます。同時に、一部の被積分関数が元の関数を直接見つけることができない場合にも、答えを解くことができます。

詳細情報:

1. 部分積分法は、微積分の積分を計算するための重要かつ基本的な方法です。

2. 微積分の乗法則と微積分の基本定理から導出されます。その主な原理は、直接的な結果が得られにくい積分形式を、結果が得られやすい等価な積分形式に変換することです。

3. 被積分関数を構成する基本的な関数の種類に応じて、よく使われる積分の順序を部分別に整理すると、「反べき乗は 3 つを指す」という式になります。それぞれ、逆三角関数、対数関数、べき乗関数、指数関数、三角関数の積分の5種類の基本関数を指します。

4. 不定積分の式(1) ∫ a dx = ax C、a と C は定数です

(2), ∫ x^a dx = [x^(a 1)]/(a 1) C、a は定数、a ≠ -1

(3), ∫ 1/x dx = ln|x|

(4)、∫ a^x dx = (1/lna)a^x C、a > 0 および a ≠

(5), ∫ e^x dx = e^x C

(6), ∫ cosx dx = sinx

(7), ∫ sinx dx = - cosx C

(8), ∫ cotx dx = ln|sinx| C = - ln|cscx| C

5. 不定積分の方法:

最初のタイプの置換は、実際には f'(x)dx=df(x); を使用する一種のパッチワークであり、前の置換の残りは f(x) に関する単なる関数であり、f( x) 全体として最終結果を達成すること。

部分積分では、固定型は数種類しかなく、三角関数に x を掛けたもの、または指数関数や対数関数に x を掛けたものに過ぎません。記憶方法は、上記の f を使用することです '(x )dx=df(x) を変形し、式 ∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx を使用します。もちろん、x を他の g(x) に置き換えることもできます。

参照: 百科事典: 部品ごとの統合

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