物理情報によって駆動されるニューラル ネットワークの概要

物理情報ベースのニューラル ネットワーク (PINN) は、物理モデルとニューラル ネットワークを組み合わせた手法です。物理的手法をニューラル ネットワークに統合することにより、PINN は非線形システムの動的な動作を学習できます。従来の物理モデルベースの方法と比較して、PINN は高い柔軟性と拡張性を備えています。物理仕様の要件を満たしながら、複雑な非線形動的システムを適応的に学習できます。この記事では、PINN の基本原理を紹介し、実際の応用例をいくつか紹介します。

PINN の基本原理は、物理的手法をニューラル ネットワークに統合して、システムの動的な動作を学習することです。具体的には、物理​​的手法は次の形式で表現できます。

F(u(x),\frac{\partial u}{\partial x},x,t) = 0

私たちの目標は、システム状態変化 u(x) の時間発展とシステム周囲の境界条件を学習することで、システムの動作を理解することです。この目標を達成するには、ニューラル ネットワークを使用して状態変化 u(x) の進行をシミュレートし、自動微分技術を使用して状態変化の勾配を計算します。同時に、物理的手法を使用して、ニューラル ネットワークと状態変化の間の関係を制約することもできます。このようにして、システムの状態の進化をより深く理解し、将来の変化を予測することができます。

具体的には、次の損失関数を使用して PINN をトレーニングできます:

L_{pinn}=L_{data} L_{ Physics}

ここで、L_{data} はデータ損失であり、既知の状態変化値をシミュレートするために使用されます。一般に、平均二乗誤差を使用して L_{data} を明確に定義できます:

L_{data}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^ { N}(u_i-u_{data,i})^2

$N$ はデータセット内のサンプル数、u_i は、ニューラル ネットワーク、u_{data ,i} は、データ セット内の対応する実際の状態変化値です。

L_{physics} は物理的制約損失であり、ニューラル ネットワークと状態変化が物理的手法を確実に満たすために使用されます。一般に、残差の数を使用して L_{physics} を明確に定義できます:

L_{physics}=\frac{1}{N}\sum_{i=1} ^{ N}(F(u_i,\frac{\partial u_i}{\partial x},x_i,t_i))^2

ここで、F は物理的な方法、\frac {\partial u_i}{\partial x} はニューラル ネットワークによって予測される状態変化の傾き、x_i と t_i はこの i と同様の時空間座標です。

L_{pinn} を最小化することで、データのシミュレーションと物理的手法の満足を同時に行うことができ、それによってシステムの動的挙動を学習できます。

次に、実際の PINN のデモを見てみましょう。典型的な例の 1 つは、Navier-Stokes 法の動的動作を学習することです。 Navier-Stokes 法は流体の運動挙動を記述し、次の形式で記述できます:

\rho(\frac{\partial u}{\partial t} u \cdot\nabla u)=-\nabla p \mu\nabla^2u f

ここで、\rho は流体の密度、u は流体の速度、p は流体の速度です。流体の圧力、\mu は密度、f は外力です。私たちの目標は、流体の速度と圧力の時間変化、および流体境界における境界条件を学習することです。

この目標を達成するには、ナビエ・ストークス法をニューラル ネットワークに埋め込んで、速度と圧力の時間発展の学習を促進します。具体的には、次の損失を使用して PINN をトレーニングできます:

L_{pinn}=L_{data} L_{physics}

L_{data} と L_{physics} の定義は以前と同じです。流体力学モデルを使用して、速度や圧力を含む一連の状態変数データを生成し、PINN を使用して状態変化をシミュレートし、ナビエ・ストークス法を満たすことができます。このようにして、最初に複雑な物理モデルを決定したり、手動で解析を導き出したりすることなく、湿った流れ、渦、境界層などの現象を含む流動体の動的挙動を学習できます。

もう 1 つの例は、非線形波動メソッドを学習する際の運動学的挙動です。非線形波動法は、序文で波動の伝播挙動を説明しており、次の形式で記述できます:

\frac{\partial^2u}{\partial t^ 2} -c^2\nabla^2u f(u)=0

ここで、u は波の速度の振幅、c は波の速度、f(u) は非線形品質のアイテム。私たちの目標は、導入境界における波のダイナミクスと境界条件の時間発展を学ぶことです。

この目標を達成するには、非線形波動プロセスをニューラル ネットワークに組み込んで、波動の画期的な進化の学習を促進します。具体的には、次のダメージ数値を使用して PINN をトレーニングできます:

L_{pinn}=L_{data} L_{physics}

## L_{data} と L_{physics} の定義は以前と同じです。数値的手法を使用して振幅とステップを含む一連の状態変化データを生成し、次に PINN を使用して状態変化をシミュレートし、非線形波動法を満たすことができます。このようにして、最初に複雑な物理モデルを定義したり、手動で解析を導き出したりすることなく、形状変化、波束の屈折、反射などの現象を含む、媒質内の波の時間発展を研究できます。

つまり、物理情報に基づくニューラル ネットワークは、物理法則を厳密に満たしながら、複雑な非線形動的システムの地球の学習に適応できる、物理モデルとニューラル ネットワークを組み合わせた方法です。 PINN は流体力学、音響学、構造力学などの分野で広く使用されており、いくつかの顕著な成果を上げています。将来的には、ニューラル ネットワークと自動微分技術の継続的な開発により、PINN がさまざまな非線形力学問題を解決するための、より大きく、より強力で、より汎用性の高いツールになることが期待されます。

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