C++関数の再帰の詳しい説明: 再帰の複雑さの分析

再帰とは、関数がそれ自体を呼び出すプロセスです。再帰の時間計算量は、再帰呼び出しの回数を数えることによって分析できます。たとえば、階乗関数は O(n^2)、フィボナッチ数列の n 番目の項の再帰関数は O(φ^n) です。ここで、φは黄金比です。

C 関数の再帰の詳細な説明: 再帰の複雑さの分析

再帰とは何ですか?

再帰は、それ自体を呼び出す関数の動作です。再帰は、関数がその関数内でそれ自体を呼び出すときに発生します。

#再帰の例

次は階乗を計算する再帰関数です:

int factorial(int n) {
  if (n == 0) {
    return 1;
  }
  return n * factorial(n - 1);
}

再帰の複雑さの分析

再帰関数の複雑さは、再帰呼び出しの数をカウントすることで分析できます。

階乗関数の場合:

n が 0 の場合、再帰的に 1 回呼び出されます。
n が 1 の場合、再帰呼び出しは 2 回 (セルフ呼び出し 1 回、末尾呼び出し 1 回) 行われます。
n が 2 の場合、3 回再帰呼び出しします (セルフ呼び出し 1 回、末尾呼び出し 2 回)。

類推すると、n が k の場合、再帰呼び出しの数は k 1 になります。

再帰呼び出しの数は等差数列を形成します: 1、2、3、...、k 1、その合計公式は次のとおりです:

1 + 2 + 3 + ... + (k + 1) = (k + 1) * (k + 2) / 2

したがって、階乗関数の複雑さは次のようになります。はO(n^2)です。

実際のケース

次は、フィボナッチ数列の n 番目の項を計算する再帰関数です。

int fibonacci(int n) {
  if (n <= 1) {
    return 1;
  }
  return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

再帰呼び出しの数は関連しています。黄金比 に対して、その複雑さは O(φ^n) です。ここで、φ ≈ 1.618 が黄金比です。

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