c++ - 如何实现去除所有集合内可以组成加法运算的子集

Question

给一组数列，若数列内存在一个数等于数列内其他一些数的和，则去除那些数。此删除操作可重复操作直到无法继续找到满足条件的数进行删除。请写出一个函数，输入为整型数组，经过函数内一系列删除操作后得到一个最短数组，返回最短数组的长度。
比如{48，20，1，3，4，6，9，24}由于(4+20+24=48)所以去除4，20，24，48，余下{1,3,6,9}后，由于3+6=9，去除{3,6,9}得到{1}，由于数组长度为1，返回1

Answer 1

この問題は NPC の目視検査によって解決されます。それは「2つのステップ」に分けられます。

1. すべての「追加のサブセット」を検索します。各要素を可能な合計として取得し、サブセット合計アルゴリズムを使用して 1 つずつ解決します。

2. 相互に排他的な加法サブセットの最大和集合を見つけます。セット パッキング アルゴリズムを参照し、線形計画法を使用してそれを解決します。

以下では、Mathematica を使用してアルゴリズムを詳細に説明します。

追加サブセットを検索

セット内の加算式を構成するすべての数値を列挙するには (負の数値と繰り返しの数値を許可)、まずサブセット合計アルゴリズム (キャッシュによる再帰) を使用して、合計が指定された数値となるサブセットを列挙します。

リーリー

コードは q を再帰的に呼び出し、結果をキャッシュします。特定の再帰的導出については、この質問を参照してください。計算された追加サブセットは内部で並べ替えられ、最後に重複を削除するために結合演算が実行されることに注意してください。使用例:

リーリー

この問題では、指定された数値はセット内の任意の要素である可能性があるため、subsetSum を使用してセット内の各要素を反復処理し、その要素と残りの要素との加算を作成してみます。最後に、重複する組み合わせが削除され、これが可能な追加サブセットの合計となります。

リーリー

上記のコードは、セットに対して内部ソート操作も実行します。これは、セットに sum と sum を追加するときに順序が崩れる可能性があるためです。また、加数の数が 2 未満の場合は削除されます。使用例:

リーリー

相互に排他的な最大和集合を求める

加算サブセットを取得した後、重み付きセット パッキングを使用して、それらの間の相互に排他的な最大和集合を見つけます。線形計画言語で記述すると

$$array{text{maximize} & sum{|s_i| セットは相互に排他的です} \ & x_i in {0, 1} & text{$x_i=1$、次に set $i$ を選択、そうでない場合は set を破棄します$i$}}$$

Mathematica は組み込みの LinearProgramming 関数を提供します:

リーリー

テスト

トピックの例:

16 個の要素のセットをランダムに生成します。

pickSumList で結果を検索し、合計である要素を強調表示します:

残りの要素: