MATLAB의 백슬래시 연산자(\\)는 선형 방정식을 어떻게 해결합니까?

MATLAB의 mldivide 연산자가 선형 방정식을 푸는 방법

백슬래시 연산자 ""라고도 알려진 MATLAB의 mldivide 연산자는 컴퓨팅을 위한 다용도 도구입니다. 행렬 형태로 표현된 선형 시스템의 해법. 이는 효율성과 수치적 안정성을 보장하기 위해 다양한 유형의 입력 행렬을 처리하는 다양한 알고리즘을 포함합니다.

비정사각형 행렬에 대한 알고리즘 선택:

비정방 행렬의 경우, 백슬래시 연산자는 QR 분해를 사용하여 솔루션을 결정합니다. QR 분해는 행렬 A를 직교 벡터 Q와 상부 삼각 행렬 R로 인수분해합니다. 그런 다음 상부 삼각 시스템 R(Q' * b)을 풀어 해 x를 얻습니다.

정사각형에 대한 알고리즘 선택 행렬:

정방 행렬의 경우 mldivide는 행렬을 진단하고 해당 행렬을 기반으로 적절한 알고리즘을 선택합니다. 특성:

• 삼각 행렬(하위 또는 상위): 전진 또는 후진 치환이 직접 수행됩니다.
• 대칭 양정 행렬: 보다 빠르고 안정적인 분석을 위해 Cholesky 분해가 사용됩니다. 솔루션.
• 일반 정사각형 행렬: LU 분해는 순방향 치환과 역방향 치환의 조합에 사용됩니다.

특수 사례:

• A가 단수형이거나 직사각형인 경우 의사 역행(pinv) 방법은 다음과 같습니다. 최소 노름 최소 제곱 솔루션에 사용됩니다.
• 희소 행렬의 경우 MATLAB은 반복 솔버와 UMFPACK과 같은 외부 라이브러리를 활용합니다.
• GPU 계산의 경우 mldivide는 cuBLAS 및 MAGMA를 활용합니다.
• 분산 배열의 경우 분산 컴퓨팅에서 선형 시스템을 해결하기 위해 ScaLAPACK이 사용됩니다.

mldivide 구현:

사용자 정의 매트릭스 라이브러리에서 mldivide의 전체 기능을 구현하는 것은 상당한 노력이 될 것입니다. 그러나 기본 알고리즘을 이해하고 특정 행렬 유형에 대한 기존 라이브러리(예: 조밀 행렬의 경우 LAPACK, 희소 행렬의 반복 솔버)를 사용하면 선형 시스템을 위한 합리적으로 효율적이고 다재다능한 솔버를 구축할 수 있습니다.

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