두 벡터 사이의 시계 방향 각도를 직접 계산하는 방법은 무엇입니까?

벡터 사이의 시계 방향 각도 직접 계산

전통적으로 벡터 사이의 각도를 계산하려면 내적을 사용하여 벡터 사이의 내부 각도를 구합니다. 0° 및 180°. 그러나 이 접근 방식에서는 실제 시계 방향 각도를 결정하기 위해 조건문을 사용해야 합니다.

2차원 사례

2D에는 다음과 같은 간단한 접근 방식이 있습니다.

dot = x1*x2 + y1*y2      # Dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1*y2 - y1*x2      # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

행렬은 각도의 사인에 비례하며 내적의 관계를 보완합니다. 코사인. 각도의 방향은 좌표계의 방향과 일치하며 양의 각도는 왼손잡이 시스템(예: 컴퓨터 그래픽)에서 시계 방향 회전을 나타냅니다. 입력을 교환하면 각도의 부호가 변경됩니다.

3차원 사례

3D에서 회전 각도는 관련된 두 벡터에 수직인 축으로 정의됩니다. 한 가지 규칙은 축을 양의 각도로 정렬하는 회전에 양의 각도를 할당합니다. 이 규칙을 사용하면:

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2    # Between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))

3D에 포함된 평면

벡터가 알려진 법선 벡터 _n_이 있는 평면 내에 있을 때 또 다른 특별한 경우가 발생합니다. 2D 계산을 적용하여 _n_을 설명합니다:

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = x1*y2*zn + x2*yn*z1 + xn*y1*z2 - z1*y2*xn - z2*yn*x1 - zn*y1*x2
angle = atan2(det, dot)

n에는 단위 길이가 있어야 합니다.

삼중 곱 형태

행렬식은 삼중행렬로도 표현할 수 있습니다. product:

det = n · (v1 × v2)

이 공식은 교차곱이 각도의 사인에 비례하고 평면에 수직으로 놓여 _n_과 효과적으로 정렬되는 대체 관점을 제공합니다. 그런 다음 내적은 올바른 부호를 사용하여 결과 벡터의 길이를 측정합니다.

범위 0° – 360°

대부분의 atan2 구현은 반환합니다. [-π, π] 라디안 또는 [-180°, 180°]도 범위의 각도. 양수 각도[0°, 360°]의 경우 음수 결과에 2π를 추가합니다. 또는 atan2(-det, -dot) π를 양의 각도에 무조건 사용할 수도 있습니다.

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