정밀도 손실 없이 큰 숫자를 빠르고 정확하게 제곱하려면 어떻게 해야 할까요?

정밀도 손실 없이 빠르게 y = x^2 계산

문제:
입력된 bignum x가 주어졌습니다. 부호 없는 32비트 정수 배열로 표현되며, y = x^2를 다음과 같이 계산합니다. 곱셈으로 인한 정밀도 손실 없이 가능한 한 빨리.

초기 접근 방식:
질문 작성자가 제안한 초기 접근 방식은 여러 곱셈을 제거하기 위해 y = x*x를 계산하는 것입니다. 그러나 여기에는 다음과 같은 몇 가지 단점이 있습니다.

Karatsuba 곱셈:
Karatsuba 곱셈은 곱셈 연산 속도를 높이는 분할 정복 알고리즘입니다. 세 가지 재귀 단계가 있습니다.

• 입력을 더 작은 청크로 나눕니다
• 각 청크에 재귀 단계를 적용
• 결과 결합

이 접근 방식은 O(n^2)의 시간 복잡도를 줄여 곱셈의 성능을 크게 향상시킬 수 있습니다. O(n^log2(3))으로.

수정된 Schönhage-Strassen 곱셈(NTT):
NTT(Number Theoretic Transform)를 사용하여 수정된 Schönhage-Strassen 알고리즘 ), 곱셈 연산 속도를 더욱 높일 수 있습니다. 주파수 영역에서 곱셈을 수행하는 것에 의존합니다.

그러나 오버플로 문제로 인해 NTT를 사용하는 데에는 제한이 있습니다. NTT 입력/출력 벡터 크기는 입력 bignum의 최대 허용 크기에 의해 제한됩니다. 질문 작성자가 제공한 구현에서 NTT는 피연산자의 크기에 따라 다양한 임계값을 사용하여 곱셈과 제곱 모두에 사용됩니다.

결론:

의 경우 숫자가 작을수록 저자의 빠른 제곱 접근 방식이 최선의 선택입니다. 숫자가 클수록 Karatsuba 또는 NTT 곱셈이 더 효율적입니다. 다양한 최적화를 통해 NTT 곱셈은 특정 임계값 이후 Karatsuba보다 더 빨라졌습니다.

중요 질문:

저자는 다음과 같은 더 효율적인 알고리즘이 있을 수 있음을 인정합니다. 간과되었습니다. 각각의 특정 사용 사례와 데이터 크기 범위에 가장 적합한 접근 방식을 식별하려면 추가 연구와 실험이 필요합니다.

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