소수 자릿수에서 부동 소수점 정밀도는 얼마나 정확합니까?

부동 소수점 정밀도: 오해된 개념

IEEE-754 표준과 같은 이진 부동 소수점 형식에 적용하면 십진수 측면에서 부동 소수점 정밀도 개념이 오해를 불러일으킬 수 있습니다. 때때로 제안되는 것처럼 6~9자리 정밀도에 대한 주장은 부정확하며 설명이 필요합니다.

10진수가 아닌 2진수

부동 소수점 숫자는 본질적으로 이진수입니다. 십진수가 아닌 비트를 사용합니다. 부동 소수점은 부호, 비트 수가 고정된 유효 숫자(가수) 및 지수로 구성됩니다. 이 구조를 통해 크고 작은 다양한 값을 효율적으로 표현할 수 있습니다.

예시

다음 예에서는 부동 소수점 정밀도를 십진수와 동일시하는 데 따른 제한 사항을 강조합니다.

• 1.0000001f은 정확하게 표현 가능하여 정밀도가 6자리로 엄격하게 제한되지 않음을 보여줍니다.
• 100000000f 앞자리 숫자 이상으로 정밀도가 떨어지며, 이는 큰 숫자 형식의 한계를 보여줍니다.

해상도 대 정확도

단정밀도 부동 소수점의 해상도는 2²³입니다. 즉, 구별 가능한 값의 가장 작은 변화는 대략 10^-6.9입니다(log₁₀2²³ ≒ 6.9이기 때문). 그러나 해상도는 정확도와 동일하지 않습니다. 10진수를 부동 소수점 숫자로 변환하면 최대 약 10^-7.2의 오류가 발생할 수 있습니다.

6~9자리 주장의 유래

6자리와 9자리 숫자는 10진수와 2진수 표현 간 변환의 본질적인 한계에서 비롯된 것 같습니다.

• 최대 6자리 유효 숫자의 소수는 부동 소수점으로 변환되었다가 손실 없이 원래의 소수로 되돌아가는 것이 보장됩니다.
• 모든 부동 소수점은 9자리 십진수로 변환된 다음 다시 원래 부동 소수점 값으로 돌아갈 수 있습니다.

그러나 이러한 보장은 부동 소수점이 6~9자리의 십진수 정밀도를 갖는다는 것을 의미하지는 않습니다.

결론: 한계 이해

십진수의 부동 소수점 정밀도 개념에는 근본적으로 결함이 있습니다. 부동소수점 연산을 정확하게 이해하려면 부동소수점의 이진성, 광범위한 값을 표현하는 강점, 소수점을 정확하게 표현하는 데 내재된 한계를 인식해야 합니다. 수치 계산의 경우 이러한 제한이 미치는 영향을 신중하게 고려해야 합니다.

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