곡선 통합 변환 : 왜 극지 좌표 변환 대신 y = sin (t)을 사용합니까?

곡선 통합 변수 대체에 대한 토론

이 논문은 곡선 통합 문제에서 가변 대체 기술을 분석합니다. 대답은 극지 좌표 변환을 사용하는 것이 아니라 삼각형 기능 대체를 사용하여 적분 계산을 단순화하는 것입니다.

원래의 적분 공식은 다음과 같습니다. $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $입니다

대답은 요소를 교환하는 다음 방법입니다. $ y = \ sin (t) $ let. 적분 간격 $ y \ in (0, 1) $이기 때문에 $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2}) $. 이 간격에서 $ \ sin (t) $ 및 $ \ cos (t) $는 둘 다 양수 값입니다.

변환기를 대체 한 후에는 적분 공식이 다음과 같습니다.

$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ sqrt {1- \ sin^2t} (\ sin t)

$ d (\ sin t) = \ cos t dt $, $ \ sqrt {1 - \ sin^2t} = \ cos t $ ($ t \ in (0, \ frac {\ pi}) $) 간격으로 적분은 :

$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos t} \ cos t dt = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2t dt $

$ y = \ sin (t) $의 대체를 통해 루트 번호가 영리하게 제거되고 적분 계산이 단순화됩니다. 이는 통합 프로세스를 단순화 할 때 적절한 변수 대체를 선택하는 것의 중요성을 반영합니다. 극성 좌표 변환과 비교하여,이 방법은이 특정 적분 문제를보다 직접적이고 효과적으로 해결합니다. 키는 변형 변수를 합리적으로 선택하고 적분 한계 및 차동 요소를 올바르게 처리하는 것입니다.

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