Python에서 최소 제곱법을 사용하는 방법에 대한 자세한 설명

"구현" 대신 "사용"이라고 말하는 이유는 Python의 관련 클래스 라이브러리가 이미 특정 알고리즘을 구현하는 데 도움을 주었고, 사용법만 배우면 되기 때문입니다. 기술이 점진적으로 숙달되고 축적됨에 따라 클래스 라이브러리의 알고리즘이 더 이상 우리 자신의 요구를 충족할 수 없을 때 우리는 우리 자신의 방식으로 다양한 알고리즘을 구현하려고 시도할 수도 있습니다.

다시 본론으로 돌아가서, '최소자승법'이란 무엇인가요?

정의: 최소 제곱법(최소 제곱법이라고도 함)은 오류의 제곱합을 최소화하여 데이터의 최상의 함수 일치를 찾는 수학적 최적화 기술입니다.

기능: 최소제곱법을 사용하면 알려지지 않은 데이터를 쉽게 얻을 수 있으며, 얻은 데이터와 실제 데이터 사이의 제곱 오차의 합을 최소화할 수 있습니다.

원리: "최소 잔차 제곱합"으로 직선의 위치를 ​​결정합니다. (수학통계에서 잔차는 실제 관측값과 추정값의 차이를 말합니다.)

기본 아이디어: 일변량 선형 회귀 모델의 경우, n개의 관찰 값 세트(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn)가 모집단에서 얻어지는 것으로 가정합니다. 평면의 점, 셀 수 없이 많은 곡선을 사용하여 피팅할 수 있습니다. 선형 회귀에서는 이 값 집합을 가능한 한 잘 맞추는 표본 회귀 함수가 필요합니다. 즉, 이 직선은 가능한 표본 데이터의 중심에 있어야 합니다. 따라서 가장 좋은 피팅 곡선을 선택하는 기준은 총 피팅 오류(즉, 총 잔차 오류)를 최소화하는 것으로 결정될 수 있습니다.

구현 코드는 다음과 같으며, 코드에 대해 자세히 코멘트를 달았습니다:

##最小二乘法
import numpy as np   ##科学计算库 
import scipy as sp   ##在numpy基础上实现的部分算法库
import matplotlib.pyplot as plt  ##绘图库
from scipy.optimize import leastsq  ##引入最小二乘法算法

'''
     设置样本数据，真实数据需要在这里处理
'''
##样本数据(Xi,Yi)，需要转换成数组(列表)形式
Xi=np.array([6.19,2.51,7.29,7.01,5.7,2.66,3.98,2.5,9.1,4.2])
Yi=np.array([5.25,2.83,6.41,6.71,5.1,4.23,5.05,1.98,10.5,6.3])

'''
    设定拟合函数和偏差函数
    函数的形状确定过程：
    1.先画样本图像
    2.根据样本图像大致形状确定函数形式(直线、抛物线、正弦余弦等)
'''

##需要拟合的函数func :指定函数的形状
def func(p,x):
    k,b=p
    return k*x+b

##偏差函数：x,y都是列表:这里的x,y更上面的Xi,Yi中是一一对应的
def error(p,x,y):
    return func(p,x)-y

'''
    主要部分：附带部分说明
    1.leastsq函数的返回值tuple，第一个元素是求解结果，第二个是求解的代价值(个人理解)
    2.官网的原话（第二个值）：Value of the cost function at the solution
    3.实例：Para=>(array([ 0.61349535,  1.79409255]), 3)
    4.返回值元组中第一个值的数量跟需要求解的参数的数量一致
'''

#k,b的初始值，可以任意设定,经过几次试验，发现p0的值会影响cost的值：Para[1]
p0=[1,20]

#把error函数中除了p0以外的参数打包到args中(使用要求)
Para=leastsq(error,p0,args=(Xi,Yi))

#读取结果
k,b=Para[0]
print("k=",k,"b=",b)
print("cost："+str(Para[1]))
print("求解的拟合直线为:")
print("y="+str(round(k,2))+"x+"+str(round(b,2)))

'''
   绘图，看拟合效果.
   matplotlib默认不支持中文，label设置中文的话需要另行设置
   如果报错，改成英文就可以
'''

#画样本点
plt.figure(figsize=(8,6)) ##指定图像比例： 8：6
plt.scatter(Xi,Yi,color="green",label="样本数据",linewidth=2) 

#画拟合直线
x=np.linspace(0,12,100) ##在0-15直接画100个连续点
y=k*x+b ##函数式
plt.plot(x,y,color="red",label="拟合直线",linewidth=2) 
plt.legend() #绘制图例
plt.show()

결과는 다음과 같습니다:

출력 결과:

k= 0.900458420439 b = 0.831055638877
비용: 1
맞는 직선은:
y=0.9x+0.83

그리기 결과:

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