몬테카를로 방법을 통해 정적분을 계산하는 Python 프로그래밍에 대한 자세한 설명

이 글은 Python 프로그래밍에서 Monte Carlo 방법을 통해 정적분을 계산하는 방법에 대한 자세한 설명을 주로 소개합니다. 필요한 친구들이 참고할 수 있습니다.

대학원 입시를 볼 때, 정적분을 계산하는 것, 이런 좋은 게 있다는 걸 알았더라면 좋았을 걸로 기억합니다. . . 농담이에요. 당시에는 정적분을 계산하는 것이 그렇게 간단하지 않았습니다. 하지만 더 복잡한 수학적 문제를 해결하기 위해 프로그래밍 언어를 사용하는 아이디어가 열렸습니다. 요점을 살펴 보겠습니다.

위 그림과 같이 구간 [a b]에서 f(x)의 적분을 계산하면 곡선과 X축으로 둘러싸인 빨간색 영역의 면적을 구하는 것입니다. 아래에서는 Monte Carlo 방법을 사용하여 구간 [2 3]에서 정적분을 계산합니다. > Monte Carlo 추정= 11.8181144118 정확한 숫자= 11.8113589251

위 그림에서 알 수 있듯이 샘플링 포인트 수가 증가할수록 계산 오류는 점차 감소합니다. 시뮬레이션 결과의 정확도를 높이는 방법에는 두 가지가 있습니다. 하나는 테스트 수 N을 늘리는 것이고, 다른 하나는 분산 σ2를 줄이는 것입니다. 테스트 수를 늘리면 문제를 해결하는 데 사용되는 총 컴퓨터 시간이 필연적으로 늘어납니다. 정확성을 높이기 위한 목적은 명백히 부적절합니다. 다음으로 분산을 줄이고 적분 계산의 정확도를 높이기 위해 중요한 샘플링 방법을 소개합니다.

중요도 샘플링 방법의 특징은 주어진 프로세스의 확률 분포에서 샘플링하는 것이 아니라 수정된 확률 분포에서 샘플링한다는 점입니다. 따라서 시뮬레이션 결과에 중요한 이벤트가 더 많이 나타나므로 샘플링 효율성이 향상되고 시뮬레이션 결과에 중요하지 않은 이벤트에 소요되는 계산 시간을 줄입니다. 예를 들어 구간 [a b]에서 g(x)의 적분을 구하면 균일 샘플링을 사용하면 함수 값 g(x)가 상대적으로 작은 구간에서 생성되는 샘플링 포인트의 개수는 다음과 같습니다. 함수 값이 큰 구간에서 생성된 샘플링 포인트의 수입니다. 샘플링 효율은 분명히 높지 않습니다. 따라서 샘플링 확률 밀도 함수를 f(x)로 변경하면 f(x)와 g( x)는 유사하며, 이는 적분 계산에 크게 기여하는 샘플링 값이 나타날 가능성을 보장할 수 있습니다. 즉, 적분 연산은 다음과 같이 다시 작성될 수 있습니다.

x는 확률 밀도 f(x)에 따라 샘플링하여 얻은 확률 변수입니다. 분명히 간격 [a b] 내에 다음이 있어야 합니다.

따라서 적분 값 I는 쉽게 기대값으로 간주될 수 있습니다. 확률 변수 Y = g(x)/f(x), 여기서 xi는 확률 밀도 f(x)

를 따르는 샘플링 지점입니다. 다음 예 정규 분포 함수 f(x)를 사용하여 g를 근사화합니다. (x)=sin(x)*x, 정규분포에 따라 표본값을 선택하여 구간 [0pi]

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
  return x**2 + 4*x*np.sin(x) 
def intf(x): 
  return x**3/3.0+4.0*np.sin(x) - 4.0*x*np.cos(x)
a = 2;  
b = 3; 
# use N draws 
N= 10000
X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to b 
Y =f(X)  # CALCULATE THE f(x) 
# 蒙特卡洛法计算定积分：面积=宽度*平均高度
Imc= (b-a) * np.sum(Y)/ N;
exactval=intf(b)-intf(a)
print "Monte Carlo estimation=",Imc, "Exact number=", intf(b)-intf(a)
# --How does the accuracy depends on the number of points(samples)? Lets try the same 1-D integral 
# The Monte Carlo methods yield approximate answers whose accuracy depends on the number of draws.
Imc=np.zeros(1000)
Na = np.linspace(0,1000,1000)
exactval= intf(b)-intf(a)
for N in np.arange(0,1000):
  X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to b 
  Y =f(X)  # CALCULATE THE f(x) 
  Imc[N]= (b-a) * np.sum(Y)/ N;   
plt.plot(Na[10:],np.sqrt((Imc[10:]-exactval)**2), alpha=0.7)
plt.plot(Na[10:], 1/np.sqrt(Na[10:]), 'r')
plt.xlabel("N")
plt.ylabel("sqrt((Imc-ExactValue)$^2$)")
plt.show()

에서 정수 ∫g(x)dx

를 계산합니다.

그림에서 볼 수 있듯이 sin(x)*x 곡선의 모양은 정규 분포 곡선의 모양과 유사하므로 곡선 정점의 샘플링 지점 수가 위치보다 낮습니다. 곡선에서는 더 많은 공간이 필요합니다. 정확한 계산 결과는 pi입니다. 위의 오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이 두 방법 모두 1000번의 정적분을 계산한 결과가 pi=3.1415에 가까울수록 정확한 값에서 멀어집니다. 숫자가 작을수록 이는 기존 방식과 일치합니다. 그러나 전통적인 방법을 사용하여 계산된 적분값의 제곱의 차이(빨간색 히스토그램)는 중요한 샘플링 방법을 사용한 것(파란색 히스토그램)보다 훨씬 큽니다. 따라서 중요도 샘플링 방법을 사용하면 분산을 줄이고 정확도를 높일 수 있습니다. 또한, 함수 f(x)의 선택은 계산 결과의 정확성에 영향을 미친다는 점에 유의해야 합니다. 우리가 선택한 함수 f(x)가 g(x)와 매우 다를 경우, 계산 결과도 증가합니다.

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