Python의 EM 알고리즘은 무엇입니까?-파이썬 튜토리얼-php.cn

Python의 EM 알고리즘은 무엇입니까?

PHPz

풀어 주다： 2023-06-05 08:51:32

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Python의 EM 알고리즘은 최대 우도 추정을 기반으로 하는 반복 방법으로, 비지도 학습의 매개변수 추정 문제에 일반적으로 사용됩니다. 이 기사에서는 EM 알고리즘의 정의, 기본 원칙, 애플리케이션 시나리오 및 Python 구현을 소개합니다.

1. EM 알고리즘의 정의

EM 알고리즘은 Expectation-Maximization Algorithm의 약어입니다. 관찰된 데이터를 바탕으로 최대 우도 추정치를 해결하도록 설계된 반복 알고리즘입니다.

EM 알고리즘에서는 표본 데이터가 특정 확률 분포에서 나온다고 가정해야 하며, 분포의 매개변수는 알 수 없으며 EM 알고리즘을 통해 추정해야 합니다. EM 알고리즘은 알려지지 않은 매개변수가 두 가지 범주, 즉 하나는 관찰 가능한 변수이고 다른 하나는 관찰 불가능한 변수로 나눌 수 있다고 가정합니다. 반복을 통해 관찰 불가능한 변수의 기대값을 모수의 추정값으로 사용한 후 수렴할 때까지 다시 해를 푼다.

2. EM 알고리즘의 기본 원리

E 단계(Expectation)

E 단계에서는 현재 매개변수 추정값을 기반으로 숨겨진 변수의 확률 분포를 계산해야 합니다. 각 숨겨진 변수의 조건 분포, 즉 숨겨진 변수의 기대값입니다. 이 기대값은 현재 매개변수 추정치를 기반으로 계산됩니다.

M스텝(최대화)

M스텝에서는 E스텝에서 계산된 히든변수의 기대값을 바탕으로 현재 파라미터 값을 재추정해야 합니다. 이 추정치는 E단계에서 계산된 잠재변수의 기대값을 기반으로 계산됩니다.

매개변수 값 업데이트

E 단계와 M 단계의 반복을 통해 결국 매개변수 추정값 세트를 얻게 됩니다. 추정값이 수렴하면 알고리즘이 종료되고, 그렇지 않으면 반복이 계속됩니다. 각 반복은 최적의 모수 추정치를 찾을 때까지 모수 값을 최적화합니다.

3. EM 알고리즘의 적용 시나리오

EM 알고리즘은 군집 분석, 모델 선택, 은닉 마르코프 모델 등 비지도 학습 분야에서 널리 사용됩니다. 강력한 견고성과 높은 반복 효율성이라는 장점이 있습니다.

예를 들어 클러스터링 문제에서 EM 알고리즘은 가우스 혼합 모델의 매개변수 추정에 사용될 수 있습니다. 즉, 관찰된 데이터 분포를 여러 가우스 분포의 혼합 모델로 모델링하고 샘플을 그룹화하여 데이터가 각 그룹은 동일한 확률 분포를 따릅니다. EM 알고리즘에서는 E 단계에서 데이터를 그룹화하고 M 단계에서 가우스 분포의 매개변수를 업데이트하여 문제를 해결합니다.

또한 이미지 처리에서 EM 알고리즘은 이미지 분할 및 이미지 노이즈 제거와 같은 작업에 자주 사용됩니다.

4. Python은 EM 알고리즘을 구현합니다

Python에는 SciPy 라이브러리의 EM 알고리즘 구현, scikit-learn 라이브러리의 Gaussian 혼합 모델 GMM과 같이 매개변수 추정을 위해 EM 알고리즘을 사용할 수 있는 많은 함수가 있습니다. 및 TensorFlow 라이브러리 등이 있습니다.

다음은 SciPy 라이브러리의 EM 알고리즘 구현을 예로 들어 소개합니다. 먼저 다음과 같이 Pyhton에서 가져와야 합니다.

import scipy.stats as st
import numpy as np

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그런 다음 가우스 혼합 모델의 확률 밀도 함수를 EM 알고리즘의 최적화 목적 함수로 정의합니다.

def gmm_pdf(data, weights, means, covs):
    n_samples, n_features = data.shape
    pdf = np.zeros((n_samples,))
    for i in range(len(weights)):
        pdf += weights[i]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[i], cov=covs[i])
    return pdf

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다음으로 EM 알고리즘의 함수를 정의합니다.

def EM(data, n_components, max_iter):
    n_samples, n_features = data.shape
    weights = np.ones((n_components,))/n_components
    means = data[np.random.choice(n_samples, n_components, replace=False)]
    covs = [np.eye(n_features) for _ in range(n_components)]

    for i in range(max_iter):
        # E步骤
        probabilities = np.zeros((n_samples, n_components))
        for j in range(n_components):
            probabilities[:,j] = weights[j]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[j], cov=covs[j])
        probabilities = (probabilities.T/probabilities.sum(axis=1)).T

        # M步骤
        weights = probabilities.mean(axis=0)
        means = np.dot(probabilities.T, data)/probabilities.sum(axis=0)[:,np.newaxis]
        for j in range(n_components):
            diff = data - means[j]
            covs[j] = np.dot(probabilities[:,j]*diff.T, diff)/probabilities[:,j].sum()

    return weights, means, covs

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마지막으로 다음 코드를 사용하여 EM 알고리즘을 테스트합니다.

# 生成数据
np.random.seed(1234)
n_samples = 100
x1 = np.random.multivariate_normal([0,0], [[1,0],[0,1]], int(n_samples/2))
x2 = np.random.multivariate_normal([3,5], [[1,0],[0,2]], int(n_samples/2))
data = np.vstack((x1,x2))

# 运行EM算法
weights, means, covs = EM(data, 2, 100)

# 输出结果
print('weights:', weights)
print('means:', means)
print('covs:', covs)

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참고 자료:

[1] Xu, R. & Wunsch, D. C. (2005) Survey of Clustering Algorithms on Neural. Networks, 16(3), 645-678.

[2] Blei, D. M., Ng, A. Y., & Jordan, M. I. (2003) Journal of Machine Learning Research, 3(4-5), 993. -1022.

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