C++의 동적 프로그래밍 알고리즘과 그 응용 기술

동적 프로그래밍(DP)은 하위 문제가 겹치는 일부 문제와 최적의 하위 구조 속성을 해결하는 데 사용되는 효율적인 알고리즘입니다. C++ 언어로 동적 프로그래밍 알고리즘을 구현할 때 효율성을 향상시키는 몇 가지 기술이 있습니다. 이 기사에서는 C++의 동적 프로그래밍 알고리즘과 해당 응용 기술을 소개합니다.

동적 프로그래밍 알고리즘의 주요 아이디어는 문제를 일련의 하위 문제로 분해하고, 각 하위 문제를 해결할 때 상태를 유지하고 이 상태를 사용하여 반복 계산을 방지하는 것입니다. 동적 프로그래밍 알고리즘은 각 하위 문제를 매번 계산하는 대신 한 번만 계산하면 되므로 계산 비용이 많이 드는 일부 문제를 해결할 수 있습니다.

1. 동적 프로그래밍의 세 가지 요소

동적 프로그래밍 알고리즘은 세 가지 요소를 충족해야 합니다.

(1) 최적 하위 구조: 문제의 최적 솔루션에는 하위 문제의 최적 솔루션이 포함됩니다.

(2) 후유증 없음: 프로세스의 모든 상태는 현재 상태에만 관련되며 이전 상태와는 아무런 관련이 없습니다.

(3) 중복되는 하위 문제: 반복 계산을 피하기 위해 여러 하위 문제가 서로 겹칩니다.

2. 동적 프로그래밍의 기본 분류

동적 프로그래밍에는 두 가지 기본 분류가 있습니다. 하나는 상태 기반 동적 프로그래밍이고 다른 하나는 의사결정 기반 동적 프로그래밍입니다. 상태 기반 동적 프로그래밍은 계산 중에 각 하위 문제에 대한 해를 저장한 다음 이러한 해의 값을 기반으로 더 큰 문제에 대한 해를 계산하는 것을 의미합니다. 상태는 일반적으로 배열과 같은 데이터 구조를 사용하여 저장됩니다. 의사결정 기반 동적 프로그래밍은 계산 중 각 하위 문제의 최적 솔루션을 기반으로 더 큰 문제에 대한 최적 솔루션을 결정하는 것을 의미합니다. 이 방법은 최적화 문제를 해결하거나 최소값을 계산할 때 자주 사용됩니다.

3. 동적 프로그래밍의 응용 기술

C++로 동적 프로그래밍 알고리즘을 구현할 때 효율성을 높일 수 있는 몇 가지 응용 기술이 있습니다. 이러한 기술은 다음과 같습니다.

(1) 배열 첨자 대신 상수 사용: 일부 동적 프로그래밍 문제에서는 배열에 대한 다중 액세스가 필요합니다. 이때 배열의 첨자를 상수로 대체하면 접근 속도를 높일 수 있습니다. 예:

for(int i=0;i<n;i++){
    for(int j=0;j<m;j++){
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
    }
}

변수 k를 사용하여 dp 배열의 첨자를 바꿀 수 있습니다:

for(int k=2;k<=n+m;k++){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int j = k-i;
        if(j<1 || j>m) continue;
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
    }
}

(2) 배열 최적화: 일부 동적 프로그래밍 문제에서는 배열 크기가 매우 커서 메모리 제한이 발생할 수 있습니다. . 이때 롤링배열을 사용하거나 2차원 배열의 첫 번째 차원을 사용하여 중간 결과를 저장할 수 있습니다. 예:

int dp[N][M];
for(int i=0;i<N;i++){
    for(int j=0;j<M;j++){
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
    }
}

는 다음과 같이 최적화될 수 있습니다.

int dp[2][M];
for(int i=0;i<N;i++){
    int cur = i%2, pre = (i+1)%2;
    for(int j=0;j<M;j++){
        dp[cur][j] = max(dp[pre][j],dp[cur][j-1])+1;
    }
}

(3) 공간 절약: 일부 동적 프로그래밍 문제에서는 전체 배열 대신 가장 최근 상태만 저장하면 됩니다. 이 시점에서 스크롤 배열을 사용하여 가장 최근 상태만 저장할 수 있습니다.

(4) 반복 계산 방지: 일부 동적 프로그래밍 문제에서는 반복되는 하위 문제가 있을 수 있습니다. 이때, 반복 계산을 피하기 위해 암기 검색이나 상향식 동적 프로그래밍을 사용할 수 있습니다.

4. 동적 프로그래밍의 예

다음은 동적 프로그래밍 문제의 몇 가지 예입니다.

(1) 피보나치 수열: 피보나치 수열은 0과 1부터 시작하는 것을 의미하며, 각 숫자는 이전 두 숫자와 같습니다. 숫자. 예를 들어 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21입니다.

재귀 공식은 다음과 같습니다: f[n] = f[n-1] + f[n-2]

동적 프로그래밍 알고리즘을 사용하면 다음과 같이 실현할 수 있습니다.

int dp[N];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}

(2) 배낭 문제: 배낭 문제는 N개의 항목이 있고 각 항목에는 무게와 값이 있음을 의미합니다. 배낭의 용량 C가 주어지면, 배낭 용량을 초과하지 않고 적재할 수 있는 최대값을 구하십시오.

동적 프로그래밍 알고리즘을 사용하면 다음을 달성할 수 있습니다.

int dp[N][C];
for(int i=0;i<N;i++){
    for(int j=0;j<C;j++){
        dp[i][j] = 0;
    }
}
for(int i=0;i<N;i++){
    for(int j=0;j<=C;j++){
        if(j>=w[i]){
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
        else{
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    }
}

위는 C++의 동적 프로그래밍 알고리즘과 해당 응용 기술에 대한 간략한 소개입니다. 복잡한 동적 프로그래밍 문제의 경우 시간 복잡도와 공간 복잡도도 고려해야 합니다. 따라서 동적 프로그래밍 알고리즘을 구현할 때에는 다양한 요소를 고려하고 적절한 방법을 선택하는 것이 필요하다.

위 내용은 C++의 동적 프로그래밍 알고리즘과 그 응용 기술의 상세 내용입니다. 자세한 내용은 PHP 중국어 웹사이트의 기타 관련 기사를 참조하세요!