뫼비우스의 띠를 만드는 데 필요한 종이 테이프의 최소 길이는 얼마입니까? 50년의 미스터리가 풀렸다

혼자서 뫼비우스의 띠를 만들어 본 적이 있나요?

뫼비우스의 띠는 독특한 수학적 구조입니다. 이처럼 아름다운 단면을 만드는 것은 실제로 매우 간단하며 어린이도 쉽게 완성할 수 있습니다. 종이 테이프를 한 번 비틀어 양쪽 끝을 서로 테이프로 붙이면 됩니다. 그러나 이렇게 쉽게 만들 수 있는 뫼비우스의 띠는 오랫동안 수학자들의 관심을 끌었던 복잡한 특성을 가지고 있습니다.

최근 연구자들은 겉으로는 간단해 보이는 질문, 즉 뫼비우스의 띠를 만드는 데 필요한 종이 테이프의 최소 길이는 얼마인가? 때문에 고민에 빠졌습니다. Brown University의 Richard Evan Schwartz는 뫼비우스 띠가 "매입"되기보다는 "내장"되어 있기 때문에 이 문제가 해결되지 않는다고 말했습니다. 즉, 서로 관통하거나 교차하지 않습니다. 뫼비우스 띠는 실제로 3차원 공간에 투사된 형상인 홀로그램입니다. "몰입된" 뫼비우스 띠의 경우 여러 층의 띠가 서로 겹칠 수 있습니다. 마치 "매립된" 뫼비우스의 경우 유령이 벽을 통과하는 것과 같습니다. 스트립의 경우에는 그러한 중복이 없습니다.

1977년 수학자 Charles Sidney Weaver와 Benjamin Rigler Halpern은 뫼비우스의 띠가 교차하도록 허용하면 간단하다는 점을 지적하면서 최소 차원 문제를 제기했습니다. 그렇다면 남은 문제는 자기교차를 피하기 위해 얼마나 많은 공간이 필요한지 결정하는 것입니다. Halpern과 Weaver는 최소 크기를 제안했지만 이를 증명할 수 없었기 때문에 Halpern-Weaver 추측으로 알려지게 되었습니다.

Schwartz는 4년 전에 이 문제에 대해 처음 알게 되었고, 이 문제에 대해 알게 된 후 매료되었습니다. 이제 그의 관심은 새로운 열매로 바뀌었다.

논문 주소: https://arxiv.org/pdf/2308.12641.pdf

그는 2023년 8월 24일 arXiv.org에 게시된 사전 인쇄 논문에서 Halpern을 증명했습니다 -Weaver 추측. 그는 종이로 만든 "삽입된" 뫼비우스 띠는 보다 큰 종횡비로만 구성될 수 있음을 보여주었습니다. 예를 들어 스트랩 길이가 1cm인 경우 너비는 cm보다 커야 합니다.

이 퍼즐을 풀려면 수학적 창의성이 필요합니다. 이러한 유형의 문제를 해결하기 위해 표준 접근 방식을 사용할 경우 공식을 통해 자기교차 표면과 비자기교차 표면을 구별하기가 어렵습니다. 이 어려움을 극복하려면 슈워츠의 기하학적 비전이 필요하지만 이는 드뭅니다.

Schwartz의 증명에서 그는 문제를 다루기 쉬운 부분으로 나누었습니다. 각 부분은 기본적으로 기하학에 대한 기본 지식만 있으면 해결할 수 있습니다.

사실 Schwartz는 효과가 있는 전략을 찾기 전까지 몇 년 동안 다른 전략을 계속해서 시도했습니다. 그는 2021년 논문에서 사용한 방법이 타당해야 한다고 항상 느꼈기 때문에 최근 문제를 다시 검토하기로 결정했습니다.

분명 그의 직감은 맞았다. 문제를 다시 검토했을 때 그는 이전 논문의 T-차트와 관련된 보조정리에 오류가 있음을 발견했습니다. 이 오류를 수정함으로써 Schwartz는 Halpern-Weaver 추측을 빠르고 쉽게 증명했습니다. 슈워츠 자신도 그 실수가 아니었다면 3년 전에 문제를 해결했을 것이라고 말한다. ㅋㅋ ~ 이 보조정리는 기본 아이디어에 기초합니다. 뫼비우스 띠의 일부 직선을 괘면이라고 합니다. 슈워츠는 공간에 있는 종이 조각이 복잡한 위치에 있더라도 모든 지점에서 여전히 직선을 통과하여 뫼비우스 띠를 가로지르고 양쪽 끝이 서로 닿는 것을 상상할 수 있다고 지적했습니다. 국경.

이전 작업에서 Schwartz는 동일한 평면에서 서로 평행한 두 개의 직선을 식별했으며, 이는 각 뫼비우스 띠에서 T자형 패턴을 형성했습니다. 그는 이러한 것들이 존재하는지, 증명이 필요한지 명확하지 않다는 점을 지적하는데, 이것이 보조정리 증명의 첫 번째 부분입니다.

다음 단계는 최적화 문제를 설정하고 해결하는 것입니다. 최적화 문제는 스트립의 너비를 연장하는 선분을 따라 특정 각도로 뫼비우스 스트립을 절단하고 최종 모양을 얻는 것입니다. Schwartz는 2021년 논문에서 그 모양이 평행사변형이라고 실수로 결론을 내렸습니다.

이번 여름, 슈워츠는 다른 전략을 시도하기로 결정했습니다. 그는 뫼비우스의 띠를 평평하게 만들기 위해 노력하기 시작했습니다. 평평한 표면에 압착할 수 있다는 것이 보여질 수 있다면 이 복잡한 문제는 보다 다루기 쉬운 평평한 표면 문제로 줄어들 것입니다. 실험에서 슈바르츠는 뫼비우스의 띠를 자르고 그것이 평행사변형이 아니라 사다리꼴이라는 것을 깨달았습니다.

드디어 50세의 질문에 대한 답이 나왔습니다. 오랜 문제를 해결하려면 용기가 필요하며, 이것이 슈워츠의 수학 강점입니다. 그는 상대적으로 쉬워 보이지만 실제로는 어려운 문제를 해결하는 것을 좋아합니다. 그는 이전 연구자들이 발견하지 못한 문제를 보게 될 것입니다.

^{참조 링크: https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-solve-50-year-old-moebius-strip-puzzle1/}

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