소프트 및 하드 제약 조건 하의 궤적 생성: 이론 및 코드에 대한 자세한 설명

이 프로젝트의 코드:

github.com/liangwq/robot_motion_planing

궤적 제약의 소프트 및 하드 제약

이전 기사에서는 이미 궤적 제약의 본질이 제약된 궤적 피팅을 수행하는 것이라고 소개했습니다. 입력은 웨이포인트 목록이며, 제약에는 하드 제약과 소프트 제약의 두 가지 유형이 있습니다. 소위 하드 제약은 비용 함수의 수학적 형태에 해당하고 하드 제약은 최적화 가을의 제약 조건에 해당합니다. 물리적인 의미에 따라, 로봇이 걸을 수 있는 안전한 궤적을 얻기 위해 다음과 같은 것들이 있습니다:

1. 비용 함수를 통해 장애물로부터 궤적을 밀어냅니다.
2. 장애물 사이에 걸을 수 있는 볼록 선체 복도를 제공하고 사용합니다. 로봇 궤적은 볼록한 선체 복도를 따라 걸어야 합니다

위 그림은 소프트 및 하드 제약 하에서 베지어 곡선 피팅을 해결하기 위한 수학적 프레임워크와 다양한 제약 조건을 수학적 솔루션으로 변환하는 방법을 보여줍니다. 비용 함수(소프트 제약 조건) 또는 해결해야 할 제약 조건(소프트 제약 조건). image.png

위는 일반적으로 사용되는 비용 함수 제약 조건의 여러 표현의 예입니다. image.png

베지어 곡선 피팅 궤적

이전 기사에서는 베지어 곡선 피팅의 다양한 장점을 소개했습니다:

• 끝점 보간. 베지어 곡선은 항상 첫 번째 제어점에서 시작하고 마지막 제어점에서 끝나며 다른 제어점을 통과하지 않습니다.
• 볼록한 껍질. 베지어 곡선( )은 일련의 제어점으로 구성되며 모든 제어점에 의해 정의된 볼록 껍질 내에 완전히 제한됩니다.
• 속도 곡선. 베지어 곡선( )의 미분 곡선 ′( )을 속도 곡선이라 부르는데, 이는 제어점에 의해 정의되는 베지어 곡선이기도 하며, 여기서 제어점은 ∙( +1− )이고, 여기서 차수는 이다.
• 고정된 시간 간격. 베지어 곡선은 항상 [0,1]에 정의됩니다.

그림1. 궤적의 한 부분에 베지어 곡선이 맞춰져 있습니다. image.png

위의 두 표현식에 해당하는 코드는 다음과 같이 구현됩니다.

def bernstein_poly(n, i, t):"""Bernstein polynom.:param n: (int) polynom degree:param i: (int):param t: (float):return: (float)"""return scipy.special.comb(n, i) * t ** i * (1 - t) ** (n - i)def bezier(t, control_points):"""Return one point on the bezier curve.:param t: (float) number in [0, 1]:param control_points: (numpy array):return: (numpy array) Coordinates of the point"""n = len(control_points) - 1return np.sum([bernstein_poly(n, i, t) * control_points[i] for i in range(n + 1)], axis=0)

베지어 곡선을 사용하여 표현하려면 곡선 섹션은 위에 나와 있습니다. 표현식과 코드 구현이 방해가 되면서 이제 누락된 것은 제어점을 가져오고 베지어 곡선 표현식을 사용하여 필요한 점의 좌표를 계산합니다. 주어진 끝점과 끝점에 그려집니다. 다음 코드는 곡선을 그리기 위해 4개의 제어점과 6개의 제어점의 베지어 곡선 구현을 제공하며 170개의 온라인 점을 계산해야 합니다. 코드는 다음과 같습니다.

def calc_4points_bezier_path(sx, sy, syaw, ex, ey, eyaw, offset):"""Compute control points and path given start and end position.:param sx: (float) x-coordinate of the starting point:param sy: (float) y-coordinate of the starting point:param syaw: (float) yaw angle at start:param ex: (float) x-coordinate of the ending point:param ey: (float) y-coordinate of the ending point:param eyaw: (float) yaw angle at the end:param offset: (float):return: (numpy array, numpy array)"""dist = np.hypot(sx - ex, sy - ey) / offsetcontrol_points = np.array([[sx, sy], [sx + dist * np.cos(syaw), sy + dist * np.sin(syaw)], [ex - dist * np.cos(eyaw), ey - dist * np.sin(eyaw)], [ex, ey]])path = calc_bezier_path(control_points, n_points=170)return path, control_pointsdef calc_6points_bezier_path(sx, sy, syaw, ex, ey, eyaw, offset):"""Compute control points and path given start and end position.:param sx: (float) x-coordinate of the starting point:param sy: (float) y-coordinate of the starting point:param syaw: (float) yaw angle at start:param ex: (float) x-coordinate of the ending point:param ey: (float) y-coordinate of the ending point:param eyaw: (float) yaw angle at the end:param offset: (float):return: (numpy array, numpy array)"""dist = np.hypot(sx - ex, sy - ey) * offsetcontrol_points = np.array([[sx, sy], [sx + 0.25 * dist * np.cos(syaw), sy + 0.25 * dist * np.sin(syaw)], [sx + 0.40 * dist * np.cos(syaw), sy + 0.40 * dist * np.sin(syaw)], [ex - 0.40 * dist * np.cos(eyaw), ey - 0.40 * dist * np.sin(eyaw)], [ex - 0.25 * dist * np.cos(eyaw), ey - 0.25 * dist * np.sin(eyaw)], [ex, ey]])path = calc_bezier_path(control_points, n_points=170)return path, control_pointsdef calc_bezier_path(control_points, n_points=100):"""Compute bezier path (trajectory) given control points.:param control_points: (numpy array):param n_points: (int) number of points in the trajectory:return: (numpy array)"""traj = []for t in np.linspace(0, 1, n_points):traj.append(bezier(t, control_points))return np.array(traj)

베지어 곡선의 피팅 방법에서 다음으로 해야 할 일은 여러 개의 베지어 곡선을 생성하여 궤적을 합성하는 방법이며 비용 함수 방법(소프트 제약 조건)을 거쳐야 합니다. 부드러운 궤적 곡선을 생성하려면 지정된 점 + 공식을 통과해야 합니다. 점 연결은 연속적(하드 제약 조건)이어야 합니다.

Fig2. 장애물 없음, 결합 궤적을 통한 원활한 최적화 Figure_1.png

다중 세그먼트 베지어 곡선 생성 코드는 실제로 여러 개의 웨이포인트가 주어지면 원리는 매우 간단합니다. 세그먼트 베지저 곡선의 코드는 다음과 같습니다.

# Bezier path one as per the approach suggested in# https://users.soe.ucsc.edu/~elkaim/Documents/camera_WCECS2008_IEEE_ICIAR_58.pdfdef cubic_bezier_path(self, ax, ay):dyaw, _ = self.calc_yaw_curvature(ax, ay)cx = []cy = []ayaw = dyaw.copy()for n in range(1, len(ax)-1):yaw = 0.5*(dyaw[n] + dyaw[n-1])ayaw[n] = yawlast_ax = ax[0]last_ay = ay[0]last_ayaw = ayaw[0]# for n waypoints, there are n-1 bezier curvesfor i in range(len(ax)-1):path, ctr_points = calc_4points_bezier_path(last_ax, last_ay, ayaw[i], ax[i+1], ay[i+1], ayaw[i+1], 2.0)cx = np.concatenate((cx, path.T[0][:-2]))cy = np.concatenate((cy, path.T[1][:-2]))cyaw, k = self.calc_yaw_curvature(cx, cy)last_ax = path.T[0][-1]last_ay = path.T[1][-1]return cx, cy

비용 함수 계산에는 곡률 비용 + 편차 비용 + 거리 비용 + 연속성 비용뿐만 아니라 경계 조건, 궤적이 튜브 내에 있어야 한다는 부등식 제약 조건 및 문제가 포함됩니다. 최적화 솔루션. 구체적인 코드는 다음과 같이 구현됩니다.

# Objective function of cost to be minimizeddef cubic_objective_func(self, deviation):ax = self.waypoints.x.copy()ay = self.waypoints.y.copy()for n in range(0, len(deviation)):ax[n+1] -= deviation[n]*np.sin(self.waypoints.yaw[n+1])ay[n+1] += deviation[n]*np.cos(self.waypoints.yaw[n+1])bx, by = self.cubic_bezier_path(ax, ay)yaw, k = self.calc_yaw_curvature(bx, by)# cost of curvature continuityt = np.zeros((len(k)))dk = self.calc_d(t, k)absolute_dk = np.absolute(dk)continuity_cost = 10.0 * np.mean(absolute_dk)# curvature costabsolute_k = np.absolute(k)curvature_cost = 14.0 * np.mean(absolute_k)# cost of deviation from input waypointsabsolute_dev = np.absolute(deviation)deviation_cost = 1.0 * np.mean(absolute_dev)distance_cost = 0.5 * self.calc_path_dist(bx, by)return curvature_cost + deviation_cost + distance_cost + continuity_cost# Minimize objective function using scipy optimize minimizedef optimize_min_cubic(self):print("Attempting optimization minima")initial_guess = [0, 0, 0, 0, 0]bnds = ((-self.bound, self.bound), (-self.bound, self.bound), (-self.bound, self.bound), (-self.bound, self.bound), (-self.bound, self.bound))result = optimize.minimize(self.cubic_objective_func, initial_guess, bounds=bnds)ax = self.waypoints.x.copy()ay = self.waypoints.y.copy()if result.success:print("optimized true")deviation = result.xfor n in range(0, len(deviation)):ax[n+1] -= deviation[n]*np.sin(self.waypoints.yaw[n+1])ay[n+1] += deviation[n]*np.cos(self.waypoints.yaw[n+1])x, y = self.cubic_bezier_path(ax, ay)yaw, k = self.calc_yaw_curvature(x, y)self.optimized_path = Path(x, y, yaw, k)else:print("optimization failure, defaulting")exit()

장애물이 있는 베지어 곡선 궤적은 장애물이 있는 장면을

생성하고 비용 함수는 생성된 곡선을 장애물로부터 멀리 유지하는 데 사용됩니다. 안전하게 걸을 수 있는 궤적을 얻기 위한 구체적인 코드 구현은 다음과 같습니다. Optimizer_k의 람다 함수 f는 궤도가 장애물 근처를 통과할 때의 비용을 해결하는 것입니다. 페널티1과 페널티2는 장애물 근처를 통과하는 곡선의 특정 비용 값을 찾는 것입니다.
b.arc_len(granuality=10)+B. arc_len(granuality= 10)+m_k + 페널티1 + 페널티2는 궤적의 전체 비용입니다. for 루프 부분은 scipy의 최적화 및 최소화를 사용하여 궤적을 해결합니다.

def optimizer_k(cd, k, path, i, obs, curve_penalty_multiplier, curve_penalty_divider, curve_penalty_obst):"""Bezier curve optimizer that optimizes the curvature and path length by changing the distance of p1 and p2 from points p0 and p3, respectively. """p_tmp = copy.deepcopy(path)if i+3 > len(path)-1:b = CubicBezier()b.p0 = p_tmp[i]x, y = calc_p1(p_tmp[i], p_tmp[i + 1], p_tmp[i - 1], i, cd[0])b.p1 = Point(x, y)x, y = calc_p2(p_tmp[i-1], p_tmp[i + 0], p_tmp[i + 1], i, cd[1])b.p2 = Point(x, y)b.p3 = p_tmp[i + 1]B = CubicBezier()else:b = CubicBezier()b.p0 = p_tmp[i]x, y = calc_p1(p_tmp[i],p_tmp[i+1],p_tmp[i-1], i, cd[0])b.p1 = Point(x, y)x, y = calc_p2(p_tmp[i],p_tmp[i+1],p_tmp[i+2], i, cd[1])b.p2 = Point(x, y)b.p3 = p_tmp[i + 1]B = CubicBezier()B.p0 = p_tmp[i]x, y = calc_p1(p_tmp[i+1], p_tmp[i + 2], p_tmp[i], i, 10)B.p1 = Point(x, y)x, y = calc_p2(p_tmp[i+1], p_tmp[i + 2], p_tmp[i + 3], i, 10)B.p2 = Point(x, y)B.p3 = p_tmp[i + 1]m_k = b.max_k()if m_k>k:m_k= m_k*curve_penalty_multiplierelse:m_k = m_k/curve_penalty_dividerf = lambda x, y: max(math.sqrt((x[0] - y[0].x) ** 2 + (x[1] - y[0].y) ** 2) * curve_penalty_obst, 10) if math.sqrt((x[0] - y[0].x) ** 2 + (x[1] - y[0].y) ** 2) <h2><span>带飞行走廊的Bezier轨迹生成</span></h2><p>得益于贝赛尔曲线拟合的优势，如果我们可以让机器人可行走的轨迹转成多个有重叠区域的凸多面体，那么轨迹完全位于飞行走廊内。</p><p style="text-align:center;"><img src="https://img.php.cn/upload/article/000/887/227/170524425539093.png" alt="소프트 및 하드 제약 조건 하의 궤적 생성: 이론 및 코드에 대한 자세한 설명"></p><p>image.png</p>

• 飞行走廊由凸多边形组成。
• 每个立方体对应于一段贝塞尔曲线。
• 此曲线的控制点被强制限制在多边形内部。
• 轨迹完全位于所有点的凸包内。

如何通过把障碍物地图生成可行凸包走廊

生成凸包走廊的方法目前有以下三大类的方法：

平行凸簇膨胀方法

从栅格地图出发，利用最小凸集生成算法，完成凸多面体的生成。其算法的思想是首先获得一个凸集，再沿着凸集的表面进行扩张，扩张之后再进行凸集检测，判断新扩张的集合是否保持为凸。一直扩张到不能再扩张为止，再提取凸集的边缘点，利用快速凸集生成算法，生成凸多面体。该算法的好处在于可以利用这种扩张的思路，将安全的多面体的体积尽可能的充满整个空间，因此获得的安全通道更大。但其也具有一定的缺点，就是计算量比较大，计算所需要的时间比较长，为了解决这个问题，在该文章中，又提出了采用GPU加速的方法，来加速计算。

基于凸分解的安全通道生成

基于凸分解的安全通道生成方法由四个步骤完成安全通道的生成，分别为：找到椭球、找到多面体、边界框、收缩。

半定规划的迭代区域膨胀

为了获取多面体，这个方法首先构造一个初始椭球，由一个以选定点为中心的单位球组成。然后，遍历障碍物，为每个障碍物生成一个超平面，该超平面与障碍物相切并将其与椭球分开。再次，这些超平面定义了一组线性约束，它们的交集是一个多面体。然后，可以在那个多面体中找到一个最大的椭球，使用这个椭球来定义一组新的分离超平面，从而定义一个新的多面体。选择生成分离超平面的方法，这样椭圆体的体积在迭代之间永远不会减少。可以重复这个过程，直到椭圆体的增长率低于某个阈值，此时我们返回多面体和内接椭圆体。这个方法具有迭代的思想，并且具有收敛判断的标准，算法的收敛快慢和初始椭球具有很大的关系。

Fig3.半定规划的迭代区域膨胀。每一行即为一次迭代操作，直到椭圆体的增长率低于阈值。image.png

这篇文章介绍的是“半定规划的迭代区域膨胀”方法，具体代码实现如下：

# 根据输入路径对空间进行凸分解def decomp(self, line_points: list[np.array], obs_points: list[np.array], visualize=True):# 最终结果decomp_polygons = list()# 构建输入障碍物点的kdtreeobs_kdtree = KDTree(obs_points)# 进行空间分解for i in range(len(line_points) - 1):# 得到当前线段pf, pr = line_points[i], line_points[i + 1]print(pf)print(pr)# 构建初始多面体init_polygon = self.initPolygon(pf, pr)print(init_polygon.getInterPoints())print(init_polygon.getVerticals())# 过滤障碍物点candidate_obs_point_indexes = obs_kdtree.query_ball_point((pf + pr) / 2, np.linalg.norm([np.linalg.norm(pr - pf) / 2 + self.consider_range_, self.consider_range_]))local_obs_points = list()for index in candidate_obs_point_indexes:if init_polygon.inside(obs_points[index]):local_obs_points.append(obs_points[index])# 得到初始椭圆ellipse = self.findEllipse(pf, pr, local_obs_points)# 根据初始椭圆构建多面体polygon = self.findPolygon(ellipse, init_polygon, local_obs_points)# 进行保存decomp_polygons.append(polygon)if visualize:# 进行可视化plt.figure()# 绘制路径段plt.plot([pf[1], pr[1]], [pf[0], pr[0]], color="red")# 绘制初始多面体verticals = init_polygon.getVerticals()# 绘制多面体顶点plt.plot([v[1] for v in verticals] + [verticals[0][1]], [v[0] for v in verticals] + [verticals[0][0]], color="blue", linestyle="--")# 绘制障碍物点plt.scatter([p[1] for p in local_obs_points], [p[0] for p in local_obs_points], marker="o")# 绘制椭圆ellipse_x, ellipse_y = list(), list()for theta in np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000):raw_point = np.array([np.cos(theta), np.sin(theta)])ellipse_point = np.dot(ellipse.C_, raw_point) + ellipse.d_ellipse_x.append(ellipse_point[0])ellipse_y.append(ellipse_point[1])plt.plot(ellipse_y, ellipse_x, color="orange")# 绘制最终多面体# 得到多面体顶点verticals = polygon.getVerticals()# 绘制多面体顶点plt.plot([v[1] for v in verticals] + [verticals[0][1]], [v[0] for v in verticals] + [verticals[0][0]], color="green")plt.show()return decomp_polygons# 构建初始多面体def initPolygon(self, pf: np.array, pr: np.array) -> Polygon:# 记录多面体的平面polygon_planes = list()# 得到线段方向向量dire = self.normalize(pr - pf)# 得到线段法向量dire_h = np.array([dire[1], -dire[0]])# 得到平行范围p_1 = pf + self.consider_range_ * dire_hp_2 = pf - self.consider_range_ * dire_hpolygon_planes.append(Hyperplane(dire_h, p_1))polygon_planes.append(Hyperplane(-dire_h, p_2))# 得到垂直范围p_3 = pr + self.consider_range_ * direp_4 = pf - self.consider_range_ * direpolygon_planes.append(Hyperplane(dire, p_3))polygon_planes.append(Hyperplane(-dire, p_4))# 构建多面体polygon = Polygon(polygon_planes)return polygon# 得到初始椭圆def findEllipse(self, pf: np.array, pr: np.array, obs_points: list[np.array]) -> Ellipse:# 计算长轴long_axis_value = np.linalg.norm(pr - pf) / 2axes = np.array([long_axis_value, long_axis_value])# 计算旋转rotation = self.vec2Rotation(pr - pf)# 计算初始椭圆C = np.dot(rotation, np.dot(np.array([[axes[0], 0], [0, axes[1]]]), np.transpose(rotation)))d = (pr + pf) / 2ellipse = Ellipse(C, d)# 得到椭圆内的障碍物点inside_obs_points = ellipse.insidePoints(obs_points)# 对椭圆进行调整，使得全部障碍物点都在椭圆外while inside_obs_points:# 得到与椭圆距离最近的点closest_obs_point = ellipse.closestPoint(inside_obs_points)# 将最近点转到椭圆坐标系下closest_obs_point = np.dot(np.transpose(rotation), closest_obs_point - ellipse.d_) # 根据最近点，在椭圆长轴不变的情况下对短轴进行改变，使得，障碍物点在椭圆上if Compare.small(closest_obs_point[0], axes[0]):axes[1] = np.abs(closest_obs_point[1]) / np.sqrt(1 - (closest_obs_point[0] / axes[0]) ** 2)# 更新椭圆ellipse.C_ = np.dot(rotation, np.dot(np.array([[axes[0], 0], [0, axes[1]]]), np.transpose(rotation)))# 更新椭圆内部障碍物inside_obs_points = ellipse.insidePoints(inside_obs_points, include_bound=False)return ellipse# 进行多面体的构建def findPolygon(self, ellipse: Ellipse, init_polygon: Polygon, obs_points: list[np.array]) -> Polygon:# 多面体由多个超平面构成polygon_planes = copy.deepcopy(init_polygon.hyper_planes_)# 初始化范围超平面remain_obs_points = obs_pointswhile remain_obs_points:# 得到与椭圆最近障碍物closest_point = ellipse.closestPoint(remain_obs_points)# 计算该处的切平面的法向量norm_vector = np.dot(np.linalg.inv(ellipse.C_), np.dot(np.linalg.inv(ellipse.C_), (closest_point - ellipse.d_)))norm_vector = self.normalize(norm_vector)# 构建平面hyper_plane = Hyperplane(norm_vector, closest_point)# 保存到多面体平面中polygon_planes.append(hyper_plane)# 去除切平面外部的障碍物new_remain_obs_points = list()for point in remain_obs_points:if Compare.small(hyper_plane.signDist(point), 0):new_remain_obs_points.append(point)remain_obs_points = new_remain_obs_pointspolygon = Polygon(polygon_planes)return polygon

上面图是给定16个障碍物点，必经6个路径点后得到的凸包可行走廊，具体代码如下：

def main():# 路径点line_points = [np.array([-1.5, 0.0]), np.array([0.0, 0.8]), np.array([1.5, 0.3]), np.array([5, 0.6]), np.array([6, 1.2]), np.array([7.6, 2.2])]# 障碍物点obs_points = [np.array([4, 2.0]),np.array([6, 3.0]),np.array([2, 1.5]),np.array([0, 1]),np.array([1, 0]),np.array([1.8, 0]),np.array([3.8, 2]),np.array([0.5, 1.2]),np.array([4.3, 0]),np.array([8, 0.9]),np.array([2.8, -0.3]),np.array([6, -0.9]),np.array([-0.5, -0.5]),np.array([-0.75 ,-0.5]),np.array([-1, -0.5]),np.array([-1, 0.8])]convex_decomp = ConvexDecomp(2)decomp_polygons = convex_decomp.decomp(line_points, obs_points, False)#convex_decomp.decomp(line_points, obs_points,False)plt.figure()# 绘制障碍物点plt.scatter([p[0] for p in obs_points], [p[1] for p in obs_points], marker="o")# 绘制边界for polygon in decomp_polygons:verticals = polygon.getVerticals()# 绘制多面体顶点plt.plot([v[0] for v in verticals] + [verticals[0][0]], [v[1] for v in verticals] + [verticals[0][1]], color="green")#plt.plot(x_samples, y_samples)plt.show()

带凸包走廊求解

带凸包走廊的光滑轨迹生成。前面已经求解得到了可行的凸包走廊，这部分可以做为硬约束作为最优化求解的不等式条件。要求的光滑路径和必须经过点的点，这部分可以把必须经过点作为等式约束，光滑路径可以通过代价函数来实现。这样就可以把带软硬约束的轨迹生成框架各种技能点都用上了。

下面看具体代码实现：

# 进行优化def optimize(self, start_state: np.array, end_state: np.array, line_points: list[np.array], polygons: list[Polygon]):assert(len(line_points) == len(polygons) + 1)# 得到分段数量segment_num = len(polygons)assert(segment_num >= 1)# 计算初始时间分配time_allocations = list()for i in range(segment_num):time_allocations.append(np.linalg.norm(line_points[i+1] - line_points[i]) / self.vel_max_)# 进行优化迭代max_inter = 10cur_iter = 0while cur_iter <h2><span>小结：</span></h2><p>这篇文章介绍了带软硬约束的轨迹优化算法框架。第一部份介绍了软硬约束对应到最优求解问题数学上如何表示。第二部份介绍了贝赛尔曲线的代码实现，给出了具体的代码实现和讲解；并针对没有障碍物场景只给定waypoint点，生成光滑的Bezier轨迹的朴素求解代码实现。第三部份给出了带障碍物情况下如何做最优化求解，如何通过代价函数的方式来给轨迹施加推力让轨迹远离障碍物的代码实现。第四部分是一个综合性的例子，把软硬约束最优轨迹生成的求解框架做了一个综合呈现。详细的介绍了如何利用障碍物地图生成最大可行区域的凸包走廊，如何利用Bezier曲线的特性给定凸包两点生成路径一定在凸包中；以及如何利用代价行数来保证轨迹的光滑性、安全性，通过等式、不等式约束实现轨迹必须经过哪些点，某个点的运动状态如何。<br>这一系列的文章已经进入结尾的阶段，后面会简单介绍在碰到移动的物体时候单机器人如何处理；以及在多个机器人运行环境如何协同，最后会给出一个Motion Planning的综合实现例子讲解实际环境数据输入、前端规划、后端轨迹生成。至于定位和感知部分的内容后面可以根据情况而定是否在开一个新的系列来讲解介绍，对于更前沿的技术点会跟进论文做些文章分享。<br>最后本系列文章的代码在以下git链接，这部分代码相对零碎主要是配合文章理论来讲的，里面很多片段直接来源于网络整合。后面这可项目会持续维护，把项目代码（应该是c++实现，更体系）、整合进来，根据需要在看看有没必要整合出一个库。</p><p style="text-align:center;"><img src="https://img.php.cn/upload/article/000/887/227/170524425687764.jpg" alt="소프트 및 하드 제약 조건 하의 궤적 생성: 이론 및 코드에 대한 자세한 설명"></p><p>原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/0EVgYKTxLzUj64L5jzMVug</p>

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