<code class="language-haskell"><span class="kt">True</span> <span class="o">&&</span> <span class="n">x</span> <span class="c1">-- => x</span>
<span class="nf">x</span> <span class="o">&&</span> <span class="kt">True</span> <span class="c1">-- => x</span>
</code>
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「所有元素都是奇數」等價於「沒有一個元素不是奇數」。
空集中一個元素都沒有,自然也就沒有「不是奇數的元素」。所以,空集中沒有一個元素不是奇數,亦即,空集的所有元素都是奇數。
如果一個集合的元素全都是奇數,那麼他的子集,其元素也應該全都是奇數。
{1} 顯然是「唯奇數集」,所以其子集 {} 也應當是「唯奇數集」。
初次見到 Vacuous truth
這一概念者往往會覺得不合常理、很難理解。但如果仔細考慮考慮,就會發現這是唯一符合常理的解釋。
@祖与占 说的“单位元”一语中的。
维基百科上Empty product
这一篇解释得也很好。
设x1 x2为两个数组,
按照常理应该有odd(x1:::x2)=odd(x1)&odd(x2)
取x1=[] x2非空 得到 odd([])=true
从程序实现角度来看,满足全部是的最简单逻辑是存在一个不满足要求就返回非(循环判断),最后默认情况就是真,类似快速失败的策略,所以对于空集合结果为真。伪代码如下
<code class="language-text">for x in xs
if x is not odd
return false
return true
</code>
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如果你自己用递归写判断一个数组是否为奇的方法
Head(x) x去掉最后一个元素
Tail(x) x的最后一个元素
odd(x)=odd(head(x)) && (tail(x)%2==1)【对不起语法有点忘了。。
于是当x只有一个元素时就是
odd(空集) && (tail(x)%2==1)
此时odd(空集)就只能为true
all f xs 所表达的语义为:
xs中的所有元素都满足条件f
也即:
xs中不存在 不满足条件f 的元素
所以,[]中不存在...的元素,当然是True
语义上的原因如此,@Geek.cs已经说得很清楚了,实现上的细节 @祖与占 也已经说得很清楚了,
所以如果你设计标准库,设计一个通用的all函数,那么基本上不会是另外一种样子的。
当然如果你的具体应用场景中需要特殊处理空集,你可以再包装一个特化的all自己用,比如可以在接受[]的时候返回Nothing,当然那样返回值类型就是Maybe的了。 标准库里的实现,在不用返回Maybe的情况下,也能做到逻辑的自洽,那自然是不会选择实现成用起来这么麻烦的东西的。
short ver: 那你觉得应该返回啥?False?error ? Maybe Bool ?
数学上叫做vacuous truth: Vacuous truth
很久以前上拓扑课时经常用到
这个很符合直觉啊,为何题主会觉得反人类。就像wiki中的例子,如果一个人问“这个房间里所有的手机都关了吗?” 如果刚好房间里所有人都没带手机,正常人都不会回答否吧。
或许按逆否命题更好理解:array中没有偶数