Bagaimanakah saya boleh mengira dengan cekap sudut mengikut arah jam antara dua vektor dalam ruang 2D dan 3D?

Mengira Sudut Mengikut Jam Antara Vektor Dengan Cekap

Secara tradisinya, pengiraan sudut antara dua vektor yang diperlukan menggunakan hasil darab titik, yang menentukan sudut dalam dalam julat 0 hingga 180 darjah. Walau bagaimanapun, pendekatan ini memberikan cabaran apabila menentukan hasil yang sesuai antara sudut dan pelengkapnya.

Adakah terdapat kaedah yang lebih langsung untuk mengira sudut mengikut arah jam?

Kes 2D

Sama seperti bagaimana hasil darab titik berkaitan dengan kosinus sudut, penentu adalah berkadar kepada sinusnya. Dengan menggabungkan hubungan ini, kita boleh mengira sudut seperti berikut:

dot = x1 * x2 + y1 * y2  # Dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1 * y2 - y1 * x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

Orientasi sudut yang dikira sejajar dengan sistem koordinat. Dalam sistem koordinat kidal di mana x menunjuk ke kanan dan y menunjuk ke bawah, sudut mengikut arah jam akan menghasilkan nilai positif. Sebaliknya, dalam sistem koordinat matematik di mana y menunjuk ke atas, hasilnya mencerminkan sudut lawan jam seperti kebiasaan dalam matematik. Menukar susunan vektor input menukar tanda, memberikan kelonggaran untuk mengubah suai tanda hasil.

Kes 3D

Dalam tiga dimensi, vektor arbitrari mentakrifkan paksi mereka sendiri bagi putaran berserenjang dengan kedua-duanya. Memandangkan paksi ini tidak mempunyai orientasi tetap, tidak mungkin untuk menentukan arah sudut putaran secara unik. Konvensyen biasa adalah untuk menetapkan sudut positif dan menjajarkan paksi untuk menampung konvensyen ini. Dalam konteks ini, hasil darab titik bagi vektor ternormal mencukupi untuk pengiraan sudut:

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2  # Between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1 * x1 + y1 * y1 + z1 * z1
lenSq2 = x2 * x2 + y2 * y2 + z2 * z2
angle = acos(dot / sqrt(lenSq1 * lenSq2))

Satah Terbenam dalam 3D

Untuk vektor yang dikekang dalam satah dengan normal yang diketahui vektor n, terdapat kes khusus untuk dipertimbangkan. Paksi putaran bertepatan dengan n, dan orientasi n menetapkan orientasi paksi. Dalam senario ini, kita boleh mengubah suai pengiraan 2D di atas untuk memasukkan n dalam penentu, mengubahnya menjadi matriks 3x3:

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2
det = x1 * y2 * zn + x2 * yn * z1 + xn * y1 * z2 - z1 * y2 * xn - z2 * yn * x1 - zn * y1 * x2
angle = atan2(det, dot)

Untuk pengiraan ini sah, vektor normal n mesti dinormalkan kepada unit panjang.

Sebagai alternatif, penentu boleh dinyatakan sebagai tiga kali ganda produk:

det = n · (v1 × v2)

Pendekatan ini mungkin lebih mudah dilaksanakan dalam sesetengah API dan memberikan cerapan tentang mekanik asas: Hasil silang adalah berkadar dengan sinus sudut dan terletak berserenjang dengan satah, bermakna ia adalah gandaan daripada n. Oleh itu, produk titik pada asasnya mengukur panjang vektor itu dengan tanda yang betul digunakan.

Julat 0 – 360°

Kebanyakan pelaksanaan atan2 mengembalikan sudut dalam julat [-π, π] dalam radian atau [-180°, 180°] dalam darjah. Untuk mendapatkan sudut positif dalam [0, 2π] atau [0°, 360°], penjelmaan berikut boleh digunakan:

dot = x1 * x2 + y1 * y2  # Dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1 * y2 - y1 * x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

Sebagai alternatif, ungkapan berikut mengelakkan perbezaan kes:

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2  # Between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1 * x1 + y1 * y1 + z1 * z1
lenSq2 = x2 * x2 + y2 * y2 + z2 * z2
angle = acos(dot / sqrt(lenSq1 * lenSq2))

Teknik pembetulan ini tidak terhad kepada masalah khusus ini tetapi boleh digunakan untuk mana-mana senario yang melibatkan atan2.

Atas ialah kandungan terperinci Bagaimanakah saya boleh mengira dengan cekap sudut mengikut arah jam antara dua vektor dalam ruang 2D dan 3D?. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!