Curve Integral Conversion: Mengapa menggunakan y = sin (t) dan bukannya transformasi koordinat polar?

Perbincangan mengenai penggantian pembolehubah integral lengkung

Makalah ini menganalisis teknik penggantian pembolehubah dalam masalah integral lengkung. Jawapannya bukan untuk menggunakan transformasi koordinat polar, tetapi untuk menggunakan penggantian fungsi trigonometri untuk memudahkan pengiraan integral.

Formula integral asal ialah: $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $

Jawapannya adalah kaedah berikut untuk menukar elemen: biarkan $ y = \ sin (t) $. Oleh kerana selang integral $ y \ in (0, 1) $, maka $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2}) $. Dalam selang ini, $ \ sin (t) $ dan $ \ cos (t) $ adalah kedua -dua nilai positif.

Selepas menggantikan penukar, formula integral menjadi:

$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}}

Oleh kerana $ d (\ sin t) = \ cos t dt $, dan $ \ sqrt {1 - \ sin^2t} = \ cos t $ (dalam selang $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2})

$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos t} \ cos t dt = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}}

Melalui penggantian $ y = \ sin (t) $, nombor akarnya dihapuskan dengan bijak dan pengiraan integral dipermudahkan. Ini mencerminkan kepentingan memilih penggantian pembolehubah yang sesuai dalam memudahkan proses integrasi. Berbanding dengan transformasi koordinat polar, kaedah ini menyelesaikan masalah integral khusus ini secara langsung dan berkesan. Kuncinya adalah dengan munasabah memilih pembolehubah transmutasi dan betul mengendalikan had integral dan elemen pembezaan.

Atas ialah kandungan terperinci Curve Integral Conversion: Mengapa menggunakan y = sin (t) dan bukannya transformasi koordinat polar?. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!