线性时间选择

定义：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素。

（1）在某些特殊情况下，很容易设计出解选择问题的线性时间算法。如：当要选择最大元素或最小元素时，显然可以在O(n)时间完成。（一趟比较即可）

（2）一般的选择问题，特别是中位数的选择问题似乎比最小（大）元素要难。但实际上，从渐近阶的意义上，它们是一样的。也可以在O(n)时间完成。

线性时间选择方法一：randomizedSelect

思想：改编随机快速排序，不用把整个数组全部排序，而是选择的排序（更快）

时间复杂度：

（1）在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n^2)计算时间

eg.要找最小的元素，但是每次进行Partition函数划分时得到的位置总是很大（靠近n）（即总是在最大元素出划分）

（2）但可以证明，算法randomizedSelect可以在O(n)平均时间内找出n个输入元素中的第k小元素。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int Partition(int a[],int p,int r){
    int i=p,j=r+1,x=a[p];
    while(1){
        while(a[++i]<x&&i<r);
        while(a[--j]>x);
        if(i>=j)break;
        swap(a[i],a[j]);
    }
    a[p]=a[j];
    a[j]=x;
    return j;
}

int RandomizedPartition(int a[],int p,int r){
    int i=rand()%(r-p)+p;
    swap(a[p],a[i]);
    return Partition(a,p,r);
}

int RandomizedSelect(int a[],int p,int r,int k){
    if(p==r)return a[p];
    int i=RandomizedPartition(a,p,r);//返回基准元素的位置
    int j=i-p+1;//表示基准元素及其左边一共多少个元素
    if(k<=j)RandomizedSelect(a,p,i,k);
    else RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);
}
int main(){
    int a[10]={3,1,7,6,5,9,8,2,0,4};
    int x;
    while(scanf("%d",&x)!=EOF){
        int ans=RandomizedSelect(a,0,9,x);
        printf("%d\n",ans);
    }
}

线性时间选择方法二：

如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。

例如，若ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递归式T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。

老师讲这时，我记得很清，强调了找到而非确定，“找到”是找到我们想要得中位数的值，而我们之前的快排等都是确定值的位置，即把基准元素放到正确的位置上。

步骤：

（1）将n个输入元素划分成n/5（向上取整）个组，每组5个元素，最多只可能有一个组不是5个元素。用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5（向上取整）个。

（2）递归调用select来找出这n/5（向上取整）个元素的中位数。如果n/5（向上取整）是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。以这个元素作为划分基准。

划分策略示意图：

白色圆点：每组的中位数； 点x：中位数的中位数

例子：

按递增顺序，找出下面29个元素的第18个元素：8,31,60,33,17,4,51,57,49,35,11,43,37,3,13,52,6,19,25,32,
54,16,5,41,7,23,22,46,29.
(1) 把前面25个元素分为5(=floor(29/5))组: (8,31,60,33,17),(4,51,57,49,35),(11,43,37,3,13),(52,6,19,25,32),(54,16,5,41,7);
(2) 提取每一组的中值元素，构成集合{31,49,13,25,16}；
(3) 递归地使用算法求取该集合的中值，得到m=25；
(4) 根据m=25, 把29个元素划分为3个子数组（按原有顺序）
P={8,17,4,11, 3,13,6,19,16,5,7,23,22}
Q={25}

R={31,60,33,51,57,49,35,43,37,52,32,54,41,46,29}

(5) 由于|P|=13,|Q|=1,k=18，所以放弃P,Q，使k=18-13-1=4，对R递归地执行本算法；
(6) 将R划分成3(floor(15/5))组：{31,60,33,51,57},{49,35,43,37,52},{32,54,41,46,29}
(7) 求取这3组元素的中值元素分别为：{51,43,41}，这个集合的中值元素是43;
(8) 根据43将R划分成3组：

{31, 33, 35,37,32, 41, 29},{43},{60, 51,57, 49, 52,54, 46}

复杂度：

设数组长度为n
当n<75时，算法select所用的计算时间不超过某一常数C1
当n≥75时，for循环执行n/5次，每次用时为某一常数（固定个数即5个中查找！）；select找中位数的中位数，由于长度为原长度的1/5，所以用时可记为T(n/5)；划分以后所得到数组至多有3n/4个元素，用时记为T(3n/4)。所以T(n)可以递归表示为：

解此递归式为T(n)=O(n)

上述算法将每一组的大小定为5，并选取75作为是否作递归调用的分界点（大于75使用该算法）。这2点保证了T(n)的递归式中2个自变量之和n/5+3n/4=19n/20=εn，0<ε<1。这是使T(n)=O(n)的关键之处。当然，除了5和75之外，还有其他选择。

注意：

（1）设中位数的中位数是x，比x小和比x大的元素至少3*(n-5)/10个，原因：

3*(n/5-1)*1/2

3---中位数比x小的每一组中有3个元素比x小

n/5-1---有5个数的组数

1/2---大概有1/2组的中位数比x小

（2）而当n≥75时，3(n-5)/10≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4，也就是说，长度最长为原长度的3/4。

如图，划分的部分左上是肯定比x小的（大概占1/4）右下是肯定比x大的（大概占1/4）左下和右上不确定，就算这两部分同时不比x小或比x大，划分成的子区间也能至少缩短1/4!

核心代码：

Type Select(Type a[], int p, int r, int k)
{
      if (r-p<75) {
        //用某个简单排序算法对数组a[p:r]排序;
        return a[p+k-1];
        };
      for (int i=0;i<=(r-p-4)/5;i++)//i即为n个元素的分组个数
      //将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素与a[p+i]交换位置;
      //将中位数元素换至前面
  
      //找中位数的中位数，r-p-4即上面所说的n-5
      Type x=Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);//x是中位数的中位数
      int i=Partition(a,p,r,x),j=i-p+1;//i为快排一趟找到区间[p,r]中x应该在的位置，j为[p,i]区间的元素个数
      if (k<=j) return Select(a,p,i,k);
      else return Select(a,i+1,r,k-j);
}

关键的代码是：

for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i++ )//i即为n个元素的分组个数
      //将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素与a[p+i]交换位置;
      //将中位数元素换至前面

一共(r-p+1)/5个组

注意这里i从0开始表示，为了方便交换时带入数组的下标，0-(r-p-4)/5，即一共(r-p-4)/5+1各组，即(r-p+1)/5个组

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;

void bubbleSort(int a[],int p,int r){
    for(int i=p;i<r;i++){
        for(int j=i+1;j<=r;j++){
            if(a[j]<a[i])swap(a[i],a[j]);
        }
    }
}

int Partition(int a[],int p,int r,int val){
    int pos;
    for(int q=p;q<=r;q++){
        if(a[q]==val){pos=q;break;}
    }
    swap(a[p],a[pos]);

    int i=p,j=r+1,x=a[p];
    while(1){
        while(a[++i]<x&&i<r);
        while(a[--j]>x);
        if(i>=j)break;
        swap(a[i],a[j]);
    }
    a[p]=a[j];
    a[j]=x;
    return j;
}

int Select(int a[],int p,int r,int k){
    if(r-p<75){
        bubbleSort(a,p,r);
        return a[p+k-1];
    }

    for(int i=0;i<=(r-p-4)/5;i++){//把每个组的中位数交换到区间[p,p+(r-p-4)/4]
        int s=p+5*i,t=s+4;
        for(int j=0;j<3;j++){//冒泡排序，从后开始排，结果使得后三个数是排好顺序的（递增）
            for(int n=s;n<t-j;n++){
                if(a[n]>a[n+1])swap(a[n],a[n-1]);
            }
        }
        swap(a[p+i],a[s+2]);//交换每组中的中位数到前面
    }
    //(r-p-4)/5表示组数-1，则[p,p+(r-p-4)/5]的区间长度等于组数
    int x=Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);//求中位数的中位数
    int i=Partition(a,p,r,x),j=i-p+1;
    if(k<=j)return Select(a,p,i,k);
    else return Select(a,i+1,r,k-j);
}
int main(){
    int x;
    //数组a存了0-79
    int a[80]={3,1,7,6,5,9,8,2,0,4,
               13,11,17,16,15,19,18,12,10,14,
               23,21,27,26,25,29,28,22,20,24,
               33,31,37,36,35,39,38,32,30,34,
               43,41,47,46,45,49,48,42,40,44,
               53,51,57,56,55,59,58,52,50,54,
               63,61,67,66,65,69,68,62,60,64,
               73,71,77,76,75,79,78,72,70,74,
              };
    while(scanf("%d",&x)!=EOF){
        printf("第%d大的数是%d\n",x,Select(a,0,79,x));
    }
}

qwq，博主nc写错输出了，“第i小的数”

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