mod运算规则

mod运算，即求余(取模)运算，是在整数运算中求一个整数 x 除以另一个整数y的余数的运算，且不考虑运算的商。在计算机程序设计中都有MOD运算，其格式为： mod(nExp1,nExp2)，即是两个数值表达式作除法运算后的余数。

取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。（推荐学习：PHP视频教程）

虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

结合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交换律：

(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：

(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)； （13）

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