Formula am bagi urutan tertib kedua

Jujukan tertib kedua formula am urutan

Mengikut konsep urutan rekursif tertib pertama, kita boleh mentakrifkan ungkapan rekursif yang serentak mengandungi +2, +1 dan sebagai urutan tertib kedua. Berbanding dengan urutan tertib pertama, formula istilah umum urutan tertib kedua adalah lebih rumit. Untuk memudahkan transformasi, mari kita jelaskan dahulu bentuk ringkas urutan kedua:

an+2 = A * an+1 +B * an , (Begitu juga, A dan B ialah pekali malar) Idea asas adalah serupa dengan tertib pertama, tetapi apabila menggabungkan, perhatikan pekali yang tidak ditentukan dan istilah yang sepadan

Komposisi formula asal: Biarkan formula asal diubah menjadi bentuk ini an+2 - ψ * an+1 = ω (an+1 - ψ * an)

Bandingkan formula ni dengan formula asal, kita boleh dapat

ψ + ω = A dan -(ψ*ω) = B

Dengan menyelesaikan dua persamaan ini, kita boleh mendapatkan nilai ψ dan ω,

Misalkan bn = an+1 - ψ*an, formula asal menjadi bn+1 = ω *bn jujukan geometri, dan formula istilah am bn bn= f (n),

Melalui persamaan yang diberi an+1 - ψ*an = f(n), kita boleh perhatikan bahawa formula ini sebenarnya adalah takrifan urutan tertib pertama. Formula ini hanya melibatkan dua pembolehubah jujukan, an+1 dan an, jadi ia boleh dianggap sebagai "pengurangan pesanan", menukar urutan tertib kedua kepada urutan tertib pertama untuk menyelesaikan masalah.

Istilah umum formula rekursi tertib kedua kuadratik bagi urutan tertentu diketahui

A(n+1)=A(n)+A(n-1)-2A(n)*A(n-1)

Diubah bentuk kepada 1-A(n+1)=(1-An)(1-A(n-1))

Biar Bn=1-An, dapatkan

B(n+1)=Bn*B(n-1)

Jika boleh dijamin bahawa Bn>0, maka anda boleh mengambil logaritma kedua-dua belah untuk mendapatkan lgB(n+1)=lgBn+lgB(n-1)

Kemudian biarkan Cn=lgB(n+1), kemudian Cn menjadi jujukan Fibonacci, yang berikut ditinggalkan

Jika Bn>0 tidak boleh dijamin, amati B3=B2B1

B4=(B2)^2*B1

B5=(B2)^3*(B1)^2

B6=(B2)^5*(B1)^3

Perhatikan bahawa Bn=(B2)^x*(B1)^y

Jelas sekali x dan y ialah kedua-dua nombor Fibonacci, yang berikut ditinggalkan

(Untuk jujukan Fibonacci, anda boleh mencari dalam talian. Istilah amnya lebih rumit dan tidak ditulis di sini)

Sila ambil perhatian bahawa hasil yang diperoleh dengan menggunakan kaedah di atas mungkin Cn atau Bn, dan anda perlu menukar An=1-Bn pada akhirnya

Bagaimana untuk mendapatkan formula istilah umum daripada formula rekursi tertib kedua?

a(n+1)+pan+qa(n-1)=0

Andaikan a(n+1)+xan=y[an+xa(n-1)]

a(n+1)+(x-y)an-xya(n-1)=0

x-y=p

xy=-q

x1=p+√（p^2-4q）,y1=√（p^2-4q）,

x2=p-√（p^2-4q）,y2=-√（p^2-4q）,

a(n+1)+x1an=y1[an+x1a(n-1)]

a(n+1)+x2an=y2[an+x2a(n-1)]

Bahagikan dua persamaan:

[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=(y1/y2){[an+x1a(n-1)]/[an+x2a(n-1)] }

Andaikan bn=[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]

bn=(y1/y2)b(n-1)=-b(n-1)

bn=b1(-1)^(n-1),b1=[a2+x1a1]/[a2+x2a1]

[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=b1(-1)^(n-1)

a(n+1)+x1an=b1[a(n+1)+x2an](-1)^(n-1)

=[b1(-1)^(n-1)]a(n+1)+[b1(-1)^(n-1)]x2an

[1-b1(-1)^(n-1)]a(n+1)={[b1(-1)^(n-1)]x2-x1}an

[1-b1(-1)^(n-2)]an={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}a(n-1)

[1-b1(-1)^(n-3)]a(n-1)={[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}a(n-2)

……

[1-b1(-1)^2]a4={[b1(-1)^2]x2-x1}a3

[1-b1(-1)^1]a3={[b1(-1)^1]x2-x1}a2

[1-b1(-1)^0]a2={[b1(-1)^0]x2-x1}a1

Darab kedua-dua belah:

[1-b1(-1)^(n-2)][1-b1(-1)^(n-3)]……[1-b1(-1)^2][1-b1(- 1)^1][1-b1(-1)^0]an

={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}{[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}……{[b1(-1)^2] x2-x1}{[b1(-1)^1]x2-x1}{[b1(-1)^0]x2-x1}a1

Pekali pada kedua-dua belah diketahui, dan an adalah keluar (selagi a1 disediakan).

Jika p dan q ialah nombor tertentu, kedua-dua belah boleh dipermudahkan.

Atas ialah kandungan terperinci Formula am bagi urutan tertib kedua. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!